弦切角_弦切角是什么

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弦切角、切割线定理、相交弦定理

【知识点】

（一）弦切角

1．定义

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。

2．定理

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

3．值得注意的问题

（1）弦切角必须具备三个条件：①顶点在圆上（切点）；②一边和圆相切；③另一边和圆相交（弦），三者缺一不可。

（2）定理中的“弦切角所夹的弧”，是指构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧。

（3）弦切角也可以看作圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角。

4.弦切角定理的运用

解决有关证明角相等、比例式、等积式的问题。

（二）切割线

1.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的。

2.切割线定理推论（割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

（三）相交弦

1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

2.相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

【定理证明】

（一）弦切角定理的证明

1、如图，AB是⊙O的切线，切点为P，弦CD//AB，则

2、已知如图1，图2，图3所示，AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，所夹的弧，是

所对的圆周角。求证：

是弦切角

（二）切割线定理及推论的证明

1、切割线定理

2、割线定理

（三）相交弦定理证明

【例题精讲】

例1 如图，∠1=∠2，EF切⊙O于D，求证BC∥EF.例2 如图，AB切⊙O于点B，BC⊥AO于C，求证∠1=∠2.例3如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，CE∥AB交于⊙O于D、E，2求证BE=CD·AB.例4如图，已知PE切⊙O于E，割线PBA交圆于B、A两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，求证（1）CE=DE；（2）CAPE CEPB

例5 如图，AB和AC与⊙O相切B、C，P是⊙O上一点，且PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，PF⊥

2AC于F，求证PD=PE·PF.例6如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于E.（1）求证△ABE≌△ACD；（2）若AB=6cm,BC=4cm，求AE的长.例7 如图，TQ切⊙O于A，∠BAQ=60°，连结BO，并延长与⊙O相交于C，与TQ相交于T，若TC=2cm,求TA的长.例8 如图，MT为⊙O的切线，A是MT的中点，ABC是⊙O的割线.求证∠AMB=∠MCA；∠MBA=∠AMC.例9如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E.求AD·AE的值.例10如图，⊙O和⊙O＇都经过点A和点B,点P在BA的延长线上,过P作⊙O的割线PCD交⊙O于C、D,作⊙O＇的切线PE切⊙O＇于F，若PC=4，CD=8，求PE的长.例11 如图,⊙O中弦AB与EF、GH分别交于C、D，且C、D三等分AB，求证CE·CF=DH·DG.例12如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,求 ⊙O半径.例13如图，△ABC内接于⊙O，PA切⊙O于A，过BC的中点D作割线PGF交AB于E，且AC//PF。

（1）求证：AE2＝PE·DE；

（2）若AE＝4，PE＝5，EF＝8，求PA的长。

例14如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连AD，并延长交

22⊙O于E，已知BE=DE·EA.求证（1）PA=PD；（2）2BP=AD·DE.例15如图，P是⊙O直径CB延长线上的点，PA切⊙O于A，PA＝15，PB＝5，弦AD交CB于点M。

（1）若MA2＝MB·MP，试判断CD与AP是否平行，并说明理由。

（2）求弦AC的长。

（3）当点D在⊙O上运动时，可以得到△ACD的最大面积，请计算这个最大面积。

【同步练习】

一、填空题

1．如图7—91，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠BAC=20°，ADDC。DE是⊙O的切线，则∠EDC=____________度。



2．如果圆内两条弦AB和CD相交于点P，AB的长等于8，AB把CD分成两部分的线段长分别为3和4，那么AP=__________。

3．如图7—93，AB为⊙O的切线。切点为B，AEF为割线，EF=4cm，直径CD=6cm，AD=2cm，则AB=________，AF=________。

4．如图7—94。AB是⊙O直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC=_________。

二、选择题

1．如图7—95，AP、BQ是圆的两条切线，且∠PAB=60°，∠QBD=70°，则∠ACD=（）。

（A）50°（B）60°（C）65°（D）70°

2．已知圆内相交弦AB、CD交于P，AB=6cm，AB被P点分成1：2的两段，CD被P点分成1：8两条线段，则CD弦长为（）。

（A）18cm（B）16cm（C）9cm（D）6cm

3．如图7—96，⊙O内两条相交弦AB、CD相交于E，AC、DB的延长线相交于P，则下列结论中正确的是（）。

（A）PC·CA=PB·BD（B）CE·AE=BE·ED

（C）CE·CD=BE·BA（D）PB·PD=PC·PA

4．已知PC是⊙O的切线，C是切点，割线PAB经过圆心O，若∠OPC=30°。PC2，则PB=（）

（A）6cm（B）62cm（C）43cm（D）23cm

三、解答题

1、如图7—98，在Rt△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，过C、D两点的圆交AC于E，连结BE交圆于H，求证：ABBHBE。