求解“电场强度”十法_求解电场强度十法

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求解“电场强度”十法

史献计

（南京沿江工业开发区教研室 江苏南京201144）

高中学生在学习电场内容时对“电场强度”的理解比较困难，同时对求解电场强度的方法也相对机械与单调，多数学生往往只是套用公式。许多学生在遇到相对复杂的情境时，就会陷入困境，不知道如何下手。现通过具体的案例分析帮助学生在解决电场强度问题的过程中学会处理“场强”的思维方法。

1．运用电场强度定义式求解

电场强度是描述电场强弱的物理量，表示了电场力的性质，与外界因素无关，仅有电场本质性质有关。无论是匀强电场还是非匀强电场，电场强度可以用检测电荷在电场中某点所受电场F与检验电荷量q的比值来表示，这就是电场强度的定义式。

例1质量为m、电荷量为q 的质点，在静电力作用下以恒定速率v沿圆弧从A点运动到B点,，其速度方向改变的角度为θ（弧度），AB弧长为s，求AB弧中点的场强E。

析与解：质点在静电力作用下做匀速圆周运动，则其所需的向心力由位于圆心处的点

v2s电荷产生电场力提供。由牛顿第二定律可得电场力F = F向 = m。由几何关系有r =，rmv2Fv2所以F = m，根据电场强度的定义有 E = =。方向沿半径方向，指向由场源

qsqs电荷的电性来决定。

2．运用电场强度与电场差关系求解

在匀强电场中电场中两点间的电势差U = Ed，其中E为场强，d为两点沿电场强度方向的距离。在一些非强电场中可以通过取元或等效的方法来进行求解。

例2 空间某一静电场的电势φ在x轴上分布如图1所示，x轴上两点B、C点电场强度在x方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有（）

A．EBx的大小大于ECx的大小 B．EBx的方向沿x轴正方向 图1 C．电荷在 O点受到的电场力在x方向上的分量最大

D．负电荷沿x轴从 B 移到 C的过程中，电场力先做正功，后做负功

析与解：根据匀强电场中电场强度与电势差的关系E = 附近一个极小的距离Δd内的电势差Δφ有E =

U，在非匀强电场中对于某点d，可以理解为距离Δd内的“平均电场强d度”。由数学知识可以知道，当Δd取无穷小时，比值为该点的电场强度,对应于φ – x

d图象的切线斜率。作出图象B、C处切线，比较其斜率不难得出EBx > ECx，A 项正确。同理可知 O 点场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C 项错误。沿电场方向电势降低，在 O 点左侧，EBx 的方向沿x 轴负方向，在 O 点右侧，ECx 的方向沿x 轴正方向，所以 B项错误，D 项正确。综合可知AD选项正确。3．运用静电平衡条件求解

处于静电场中的导体在达到静止平衡时，导体内部的电场强度为零。其本质是感应电荷的电场强度与外加电场的电场强度合成后为零，即有E感 + E外 = 0。

例3 一金属球原来不带电，现沿球的直径的延长线放置一均匀带电的细杆MN，如图2所示。金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上a、b、c三点的场强大小分别为Ea、Eb、Ec，三者相比（）

A．Ea最大

B．Eb最大 C．Ec最大

D．Ea= Eb= Ec 图2 析与解：导体处于静电平衡时，其内部的电场强度处处为零，故在球内任意点，感应电荷所产生的电场强度应与带电细杆MN在该点产生的电场强度大小相等，方向相反。均匀带电细杆MN可看成是由无数点电荷组成的。a、b、c三点中，c点到各个点电荷的距离最近，即细杆在c点产生的场强最大，因此，球上感应电荷产生电场的场强c点最大。故正确选项为C。

4．综合运用力学规律求解

带电粒子或带电体在复合电场中的运动时，受到电场力作用与其他力的作用而运动，运动过程复杂，因此解题过程中要综合分析物体的受力状况与初始条件，然后选择相应的物理规律进行求解。

例4 在水平方向的匀强电场中，有一带电微粒质量为m，电量为q，从A点以初速v0竖直向上射入电场，到达最高点B时的速度大小为2v0，如图3所示。不计空气阻力。试求该电场的场强E。

析与解：从习题描述的情境来看，带电微粒能达到最高点，隐含图3 微粒的重力不能忽略的条件。因此，微粒在运动过程中受到竖直向下的重力mg和水平向右的电场力qE。微粒在水平方向上做匀加速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动。到达最高点B点时，竖直分速度vy = 0，设所用的时间为t，运用动量定理的分量式：水平方向上qEt = m(2v0)– 0、竖直方向上 mgt = 0 –(– mv0)，解得E =2mg/q。本题所述情境下的物体运动应当是一个斜抛运动，运动轨迹是抛物线，可以用运动的合成与分解、牛顿运动定律进行求解，也可运用动能定理，等，可以通过种方法的求进行比较与分析，帮助学生归纳出求解这类问题的思维入口。

5．运用“叠加法”求解

电场强度是矢量，矢量的运算满足叠加原理，即空间某点的电场强度等于所有场源在该点形成的场强的矢量和，满足矢量运算法则。通过叠加法可以解决一些较为困难的问题。

例5 如图4所示，有一带电量为 + q的点电荷与均匀带电圆形薄板相距为2d，电荷到带电薄板的垂线通过板的圆心。若图中a点处的电场强度为零，求图中b点的电场强度大小。

析与解：点电荷+q在a点场强为E1、薄板在a点场强为E2，a点场强为零是E1与E2叠加引起的，且两者在此处产生的电场强度大小相等，方向相反，大小E1 = E2 =

kq。2d图4 根据对称性可知，均匀薄板在b处所形成的电场强度大

kq小也为E2，方向水平向左；点电荷在b点场强E3 =，2(3d)方向水平向左。根据叠加原理可知，b点场 Eb = E2 + E3 =

10kq。29d6．运用“等效法”求解

等效替代法是指在效果一致的前提下，从某个事实A出发，用另外的事实B来代替，必要时再由B到C，„„，直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应的联系，从而运用有关规律解决问题。

例6如图5（a）所示，距无限大金属板正前方l处，有正点电荷q，金属板接地。求距金属板d处a点的场强E（点电荷q与a连线垂直于金属板）。

析与解：a点场强E是点电荷q与带电金属板产生的场强的矢量和。画出点电荷与平行金属板l

+q-q a 间的电场线并分析其的疏密程度及弯曲特征，会a

+q d 发现其形状与等量异种点电荷电场中的电场线分布相似，金属板位于连线中垂线上，其电势为零，（a）设想金属板左侧与 +q对称处放点电荷-q，其效（b）

果与+q及金属板间的电场效果相同。因此，在+q图5 左侧对称地用 –q等效替代金属板，如图5（b）所示。所以，a点电场强度Ea = kq[

11]。

(ld)2(ld)27．运用“对称法”求解

对称法是利用带电体产生的电场具有对称性的特点来求电场强度的方法。通常有中心对称、轴对称等。

例7 如图6所示，在一个接地均匀导体球的右侧P点距球心的距离为d，球半径为R.。在P点放置一个电荷量为 +q的点电荷。试求导体球感应电荷在P点的电场强度大小。

析与解：如图6所示，感应电荷在球上分布不均匀，图6 靠近P一侧较密，关于OP对称，因此感应电荷的等效分布点在OP连线上一点P′。设P′ 距离O为r，导体球接地，故球心O处电势为零。根据电势叠加原理可知，导体表面感应电荷总电荷量Q在O点引起的电势与点电荷q在O点引导起的电势之和为零，即

RkqkQ+= 0，即感应电荷量Q = q。同理，Q与q在球面上任RddkQR2Rrcosr22意点引起的电势叠加之后也为零，即=

kqR2Rdcosd22，其中α为球面上任意一点与O连线和OP的夹角，具有任意性。将Q代入上式并进行数学变换后得 d2r2 – R4 =(2Rrd2 – 2R3d)cosα，由于对于任意α角，该式都成立，因此，r满足的关R2系是r =。

dkdRq2kqQ根据库仑定律可知感应电荷与电荷q间的相互作用力F = =。根

(dr)2(d2R2)2据电场强度定义可知感应电荷在P点所产生的电场强度E =

kdRqF=2。q(dR2)28．运用“微元法”求解

微元法就是将研究对象分割成许多微小的单位，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，找出每一个微元的性质与规律，然后通过累积求和的方式求出整体的性质与规律。

例8 如图7（a）所示，一个半径为R的均匀带电细圆环，总量为Q。求圆环在其轴线上与环心O距离为r处的P产生的场强。

析与解：圆环上的每一部分电荷在P点都产（a）

（b）生电场，整个圆环在P所建立电场的场强等于各图7 部分电荷所产生场强的叠加。如图7（b）在圆环上取微元Δl，其所带电荷量Δq =

QΔl，在P点产生的场强： 2RΔE =

kQlkq= 22222R(rR)rR整个圆环在P点产生的电场强度为所有微元产生的场强矢量和。根据对称性原理可，所有微元在P点产生场强沿垂直于轴线方向的分量相互抵消，所以整个圆环在P点产生场中各微元产生的场强沿轴线方向分量之和，即

EP = ΣΔEcosθ = Σ

kQlrkQr=。

2232R(r2R2)r2R2(rR)9．运用“补偿法”求解

电场强度问题有时所给出的条件而建立的模型不是一个完整的标准模型，这时就需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一个容易求解的模型。通过这种“补偿”的方法将一个不完整的模型转换为一个完整的标准模型。

例9 如图8（a）所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电。试比较A′点与 A″点电场强度的大小。

析与解：如图8（b）所示，球冠上正电荷在A′点产生的电场强度为E1、球层面上正电荷在A″点产生电场强度为E2。球冠与球层两部分不规则带电体产生的电场强度，无法用所学公式直接进行计算或比较。于是，需要通过补偿创造出一个可以运用已知规律进行比较的条件。

（b）（c）（a）

图8

在球层表面附着一个与原来完全相同的带正电半球体，如图8（c）所示，显然由叠加原理可知，在A″点产生电场强度E3 > E2。若将球冠与补偿后的球缺组成一个完整球体，则则均匀带电球体内电场强度处处为零可知，E1与E3大小相等，方向相反。由此可以判断，球冠面电荷在A′点产生的电场强度为E1大于球层面电荷在A″点产生电场强度E2。

10．运用“类比法”求解

类比是以比较为基础的，通过对两个（类）不同对象进行比较，找出它们之间的相似点或相同点，然后以此为根据，把其中某一（类）对象的有关知识或结论推移到另一个（类）对象中去。例10 如图9（a）所示，ab是半径为 r 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，电场强度为E。在圆周平面内，将一电荷量为 q 的带正电小球从 a 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点。在这些点中，到达 c点时小球的动能最大。已知 ∠cab = 30°。若不计重力和空气阻力，试求：

⑴ 电场的方向与弦ab间的夹角。

⑵ 若小球在 a点时初速度方向与电场方（a）（b）向垂直，则小球恰好落在 c点时的动能为多大。图8 析与解：⑴ 求解电场强度方向问题看起来简单但有时是比较复杂而困难的。本题中，在匀强电场中，仅电场力做功，不计重力，则电势能与动能之和保持不变。在两个等势面间电势差最大，则动能变化量最大。因此，小球到达 c点时小球的动能最大，则ac间电势最大。根据重力场类比，可知c点为其最低点，电场方向与等势面垂直，由“重力”竖直向下可以类比，出电场方向沿oc方向，与弦ac夹角为30°。

⑵ 若小球在a点初速度方向与电场方向垂直，则小球将做类平抛运动，由图9（b）可知，ad = rcos30°=33r、cd = r(1 + sin30°)= r。小球在初速度方向上做匀速运动，其初22adqE1。在电场方向上做匀加速运动，加速度a =，cd = at2。tm21从a到c，由动能定理有 qE·cd = Ek –mv02，联立上述方程解得小球落到c点动能为

213Ek = qEr。

8速度v0 = 上述求解电场强度的问题从物理知识与物理思维两个角度归纳出十种方法，其意图在于要求学生能够在新的物理情境中，根据“电场强度”的物理定义与物理意义来寻找解题的思维方法。学生可根据题目提供的信息，寻找多种途径解决问题。事实上，上述案例中，许多问题是多种方法交替在一起的。教学过程中，教师要善于引导进行思维方法的归纳，在在归纳的基础上进行思维拓展训练，以便提升学生思维的广泛性，注重各种解题方法和解题技巧的灵活运用。