03 数学归纳法_ch02数学归纳法
03 数学归纳法由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“ch02数学归纳法”。
§03数学归纳法
【基础再现】
1.用数学归纳法证明1＋2＋3＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为.解：1＋2＋
3意图：第一步“递推奠基”要切实完成，不可以虚晃一枪走过场.1112.利用数学归纳法证明“1．．＋＝P(n)”的过程中，从“n＝k”到“n＝k＋1” 232时，左边应增加的项是.111解：k＋kk+12+1 2+2
2意图：第二步“递推证明”中，要搞清楚“n＝k”与“n＝k＋1”时的联系与差异，以便用上假设，凑出结论.＋＋3.用数学归纳法证明“56n5＋76n7能被9整除”的第二步中，为了使用归纳假设，应将
＋＋＋＋56(k1)5＋76(k1)7变形为__________________.6＋＋＋解：5·(56k5＋76k7)＋ 76k7(76－56)
4.下述证明方法是否是数学归纳法？说明理由.证明n+n＜n＋1(nN).证明：（1）当n＝1时+1＜1＋1不等式成立；
（2）假设n＝k(k∈N)时不等式成立,即k+k＜k＋1.则当n＝k＋1时,(k+1)+(k+1)＝k+3k+2
解：不是，原因在证明n＝k＋1时，没有使用归纳假设.意图：第二步“递推证明”中，如果不用假设，则传递无法继续下去，这是理解数学归纳法原理的关键.5． 用数学归纳法证明：当n∈N*时，13＋23＋33＋„＋n3＝(1＋2＋3＋„＋n)2.证明（1）当n＝1时，13＝1 ,12 ＝ l，结论成立；
(2）假设 n＝k 时，结论成立，即13＋23＋33＋„＋k3＝(1＋2＋3＋„＋k)2 则当n＝k＋1时，13＋23＋33＋„＋k3＋(k＋1)3＝(1＋2＋3＋„＋k)2＋(k＋1)3＝(1＋2＋3＋„＋k)2＋k(k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝(1＋2＋3＋„＋k)2＋2(1＋2＋3＋„＋k)(k＋1)＋(k＋1)2＝[1＋2＋3＋„＋k＋(k＋1)]2 所以当 n＝ k ＋ 1 时，命题也成立．
根据(1)和(2)，可知结论当n∈N*时都成立．
意图：用数学归纳法证明证题时，要注意表达的规范性.【典型例题】
111例1 已知an ＝1＋＋...＋（n∈N*），是否存在整 式g（n），使得a1＋a2＋...＋an-123n
＝g(n)(an －1)对n≥2 的一切自然数都成立，并证明你的结论．
1解：当n＝2时，左边＝a1＝1，右边＝g(2)(a2－1)＝，依题意得g(2)＝2.2
155当n＝3时，左边＝a1＋a2＝1＋(1)＝，右边＝g(3)(a3－1)＝g(3)，依题意得g(3)＝3.226
猜想：当g(n)＝n时，可使等式a1＋a2＋...＋an-1＝g(n)(an－1)成立．
下面利用数学归纳法加以证明．
① 当 n＝2 时，已经验证命题成立；
②假设n＝k时命题成立，即存在整式g（k）＝k，使得a1＋a2＋...＋ak－1＝g(k)(ak－1)对k≥2 的一切自然数都成立，则当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝（a1＋a2＋…＋ak－1）＋ak＝g(k)(ak－1)＋ak＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k ＝(k＋1)ak＋1－(k＋1)＝(k＋1)(ak＋)－(k＋1)k＋
1＝(k＋1)ak＋1－(k＋1)＝(k＋1)(ak＋1－1).所以当 n ＝k ＋ 1 时，命题也成立．
由 ① ② 可知，对一切自然数n(n≥2, n∈N*)都存在g(n)＝n，使得a1＋a2＋...＋an－1＝g(n)(an－1)成立.意图：（1）复习数学归纳法的适用范围：适用于与正整数有关的问题，常用来证明由不完全归纳法得到的结论；
（2）本题首先采用归纳推理，即由特殊到一般的推理得出猜想，然后运用数学归纳法加以证明；（3）证明中要切实按照数学归纳法的步骤进行，尤其是第二步，要做好两个“凑”：“一凑假设，二凑结论”。
1111例2 已知n是大于1的正整数，Sn＝2×(1(1(1＋．．．×(1＋，3572n－1
求证：Sn>2n＋1.8解：①当n＝2时，S2＝39＝2×2＋1，∴不等式成立； 9
②假设当n＝k时不等式成立，即Sk>2k＋1，12k+2则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk·(1＋)>2k＋＝2k+12k+14k＋8k＋4>2k＋14k＋8k＋3＝2k＋1(2k＋1)(2k＋3)＝2(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式也成立.2k＋1
由①、②可知原不等式对任意大于1的正整数n都成立.意图：利用数学归纳法可以证明恒等式、不等式、数的整除、几何问题等.本题是证明与正整数有关的不等式.证明中请注意两点：(1)在证明第二步n＝k＋1时，一定要用到归纳假设n＝k时的结论；(2)为证明n＝k＋1时结论也成立，对条件和结论进行各种各样的恒等变形是必要的，常用变形技巧有：提取公因式、配方、恰当的放缩、添项、拆项等.另外，不妨先把n＝k＋1时的结论写出来，为证明提供方向.例3 已知△ABC的三边长都是有理数.（1）求证：cosA是有理数；
（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数.AB2＋AC2－BC
2证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知： cosA＝是有理数.2 ABAC
(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数.①当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数；
②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数，则当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA
sinAsin(k＋1)A＝sinA(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)coskA＋(sinA·sinkA)·cosA, 及①和归纳假设，知cos(k＋1)A和sinAsin(k＋1)A也都是有理数.即当n＝k＋1时，结论也成立.由①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数.意图: 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力.本题第二问的关键是当n＝k＋1时，能否正确变形，以利于用上假设.变式：已知α1，α2，．．．，αn∈(0，π)，n是大于1的正整数，求证：|sin(α1＋α2＋．．．＋αn)|
证明：①当n＝2时，|sin(α1＋α2)|＝|sinα1cosα2＋cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|＋|cosα1|sinα2。∵α1，α2∈(0，π)，∴|cosα1|0，sinα2>0，∴|sin(α1＋α2)|
②假设当n＝k时不等式成立，即|sin(α1＋α2＋．．．＋αk)|
∵|cosαk＋1|0
∴|sin(α1＋α2＋．．．＋αk＋1)|
∴由①、②可知原不等式对任意大于1的正整数n都成立.【课后强化】
＋＋1.用数学归纳法证明“当n是非负整数时，55n1＋45n2＋35n能被11整除”的第一步应写成：
＋＋当n＝______时，55n1＋45n2＋35n＝________＝_______，能被11整除.解：n＝0，5＋16＋1＝22；
2.凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋______.解：180°
13a4.已知数列{an}, a1an+1＝则a2, a3, a4 ,a5分别为_________,猜想an＝________.2 3＋an
33133解：，78310n＋5
5.用数学归纳法证明某个命题时，左式为1·2·3·4＋2·3·4·5＋．．．＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3),从 “n＝k到n＝k＋1”，左边需增加的代数式是__.解：(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4),6.设Sk＝111...，那么Sk＋1＝Sk＋____.2kk＋1k＋2
11解：＋ 2k＋12k＋2
7.观察下面等式：
1＝12
2＋3＋4＝9＝32
3＋4＋5＋6＋7＝25＝52
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72
推出由等式提供的一般规律, 用数学归纳法证明.解：归纳出一般性的结论为：“n＋(n＋1)＋(n＋2)＋„„＋（3n－2）＝(2n－1)2.下面用数学归纳法给出证明；
（1）略；
（2）假设略
则当n＝k＋1时，(k＋1)＋(k＋2)＋„„＋（3k－2）＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝ k＋(k＋1)＋(k＋2)＋„„＋（3k－2）＋8k＝(2k－1)2＋8k＝(2k＋1)2.以下略.18.已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N)，记bn＝(1－a1)(1－a2)„(1－an).(n＋1)(1)写出数列{bn}的前三项；
(2)猜想数列{bn }通项公式，并用数学归纳法加以证明.n(n＋2)1解：1－an＝1－(n＋1)(n＋1)1×331×32×421×32×43×55b1＝，b2＝b3＝＝ 242332348
n＋2由此猜想得到：an＝.2(n＋1)
以下略.＋8．用数学归纳法证明32n2－8n－9(nN)能被64整除.证明：（1）略；
（2）假设略；
＋＋＋则当n＝k＋1时，32(k1)2－8(k＋1)－9＝9(32k2－8k－9)＋64(k＋1)，以下略.9．求实数a, 使下面等式对一切正整数n都成立：
n2＋an111 ＋...＋.1·2·32·3·4n(n＋1)(n＋2)4(n＋1)(n＋2)
解析：
法1：通过“裂项求和”可以得到：
n2＋3n111111...－)＝，因此a＝3.1·2·32·3·42(n＋1)(n＋2)4(n＋1)(n＋2)n(n＋1)(n＋2)21×法2：因为等式对一切正整数n都成立，取n＝1，得a＝3后，再利用数学归纳法给予证明.10．求证：对任何正整数n，n(n＋1)...(n＋k)1·2·3„k＋2·3·4„(k＋1)＋„n(n＋1)„(n＋k－1)＝(k∈N).k＋1
证明：（1）略；
（2）假设略，则当n＝m＋1时，1·2·3„k＋2·3·4„(k＋1)＋„m(m＋1)„(m＋k－1)＋(m＋1)(m＋2)„(m＋k)＝
以下略.m(m＋1)...(m＋k)(m＋1)(m＋2)...(m＋k＋1)＋(m＋1)(m＋2)„(m＋k)＝，k＋1k＋1
