十三章数学归纳法极限排列组合_数学归纳法与极限

十三章数学归纳法极限排列组合由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学归纳法与极限”。

重庆南开中学 吴剑qq13615357wuwujianjian_@163.com

（1）数学归纳法证明不等式：

求证：当n1时，我就不说了。

假设当n

k时成立，既xk()

那么当nk1时，121211xk1xkxk1(xk(xk2)(xk(xkxkxkxk)

222212k1成立，由归纳假设xk

()1

2k1，所以只需要证11xk)，22

既只需要证1xk3,①。因为xk12133xk1xk11(xk11)2

xk3（A）2222

因为由归纳假设，1xk()k1成立，所以有

111()k1xk()k1xk

又12(222

由（A），（B）两式知①式成立。

由归纳法原理，成立。

（2）数列与数学归纳法证明数列不等式

k1，所以1xkB）

前两个我就不求

(2)都是正数，直接两边除以两个的积（呵呵，看到11与了这就是常用处理）an1an

那就有了1a111a2n1，因为anan12a2n1anan10，所以n11 nan1annanan呵呵，则1112 an1ann

重庆南开中学 吴剑qq13615357wuwujianjian_@163.com

（3）直接数学归纳法证。开始不说了。

假设k112akk，则当nk1时。ak1akak，考虑二次函数2k2(k1)

yk112xk时，函数增，所以 的单调性可得当xxk2(k1)2

k11(k1)21akk2，呵呵，下面只需要证 k1222k2(k1)(k2)(k1)

k2k111，kk2k1即可，很简单了，直接算。22k3k2(k1)(k1)

这题我感觉能用数学归纳法来做应该是倒数第二道的档次。还有，利用递推关系证明不等式时，常常可以用数学归纳法，k到k+1那步就可以利用函数单调性，如我的方法。3问另法放缩。

111111111()()1222a0ana0a1an1an23n

1111212(n1)nn．又a01

2所以ann又

121n2n1n2

anan12an1an12(n1)an1an1所以an12an故nnn2nn1

1121n2

anan1.∴anan12an1an12an12an=an12nn1nnnn1

n1111111 22.同理利用累加可得ann2an1annn1nnnn1

综合以上知n1ann.n2

（3）数学归纳法证明一个解不出的递推关系的通项。

已知数列an中，a13，an3n1，求证，an4m3（m是非负整数）a

分析：这题是一个数列递推关系问题，和以前我们能够解出的递推关系不一样，是无法求解的。不过看题目并不是要求通项，只是证明通项是一个给出的形式，故可采用归纳法证明。

证明：当n1时，a13403，成立，假设当n=k时，ak4p3，p是非负整数。

那么当n =k+1时。

01224p34P3 ak134p3(12)4p3C4C*2C*2....Cp34p34p34p32

24p34P124p34P1=18p64(C4)=38p44(C4)p3....C4p32p3....C4p32

24p34P124p34P1=34(2p1C4是非负整数，)显然2p1C4p3....C4p32p3....C4p32

所以命题成立。

(4)换元思想求函数极限

（5）数学归纳法证明一数列不等式。有点难度

a12,an12n,求证:an1an

当n1时，成立，为了后面方便，多算个n=2吧

假设当nk，(k

2)时都成立，既ak1ak11

当nk1时，ak12kak1kk1k(k1)222[k] ak2a(k1)22a(k1)k1k12ak1

易知k(k1)0，又ak11

2ak1(k

1)

12[k2 2

下只需要证

21k1k22k2(kk2k22k1)k1

10

所以成立。（这里用假设nk，是因为直接用连续两项关系的话放缩方向始终不对）

还可以证明一个加强命题，1an1

（6）组合从集合｛1，2，3.....，15｝中取出4个不同的元素，是其中一个元素的三倍等于其他三个

元素之和（如1，6，7，10，就是一种取法），则这样的取法种数有

A106B96C155D125

解：题目可变为抽三个数字，和为3的倍数，且三数不是等差数列。

（分析：第四个数实际上抽好那三个，他就定了，只是第四个数不能是已经选好的前3个数，所以，前三个数就不能是等差，否则前三数的中间一个就是第四个，就矛盾了）

余0：3，6，9，12，15

余1：1，4，7，10，13

余2：2，5，8，11，14，（1）若三数来自于同一类，方法是3C5330，（2）若三数来自不同类，则只能一类取一个则总数5

则总共有30+125=155个。

但是这里面有很多是等差数列的，有多少个等差数列的情况呢？

注意到只要三数成等差数列，则三数和一定是3的倍数，所以我们在算之前那155个的时候里面包含了所有的等差数列，则在1—15这些数里选三数成等差数列共有C72C8249个，（只需要在7个偶数中选2个作为两头的数，等差中项就有了。8个奇数同样，或者按公差分类数也行，13+11+9+。。+1=49）

所以满足条件的为155-49=106