加权平均数 案例评析_加权平均数教学案例
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20.1.1 加权平均数——案例和评析
【基本理念】《数学课程标准》指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者，引导者与合作者”，其强调了学生在教学活动中的主体地位。实践证明，主体性教学是培养学生自主探索知识能力、实践能力和创新思维能力的重要途径。
作为数学学习的组织者、引导者和合作者——教师应以学生为中心，充分发挥学生的主体性。
【基本目标】
知识 与 技能（理解权的意义及作用、掌握计算方法）
过程 与 方法（体会数学知识的形成过程：观察、类比、探究、概括、归纳。/体会数学知识的应用价值：体会加权平均数的作用，并解决实际问题。）
情感态度与价值观(通过小组合作学习，养成交流分享的习惯；提高数学应用意识和能力，体会数学在生活中的重要作用。)
【实录 评析】
一、创设情境，提出问题，明确思维目标
●发现矛盾，寻求新法
师：同学们好！今天我们进入平均数的学习。开启新课前呢，老师想请同学们来帮助解决一个问题。期末了，学校要评选优秀学生，老师对甲、乙两名候选人进行了平时、期中和期末这三项成绩汇总，他们的各项成绩（百分制）如下表所示，那老师该怎么选出‘优秀学生’呢？
生1：老师我觉得应该计算甲乙的总分或平均分，选分数高的那个？ 师：哦~ 这样可行吗？大家先不要急着回答，自己想一想！
生2：老师我发现发现甲乙两人的三项成绩加起来，总分一样，算出的平均分也一样。师：咦！是哦，观察的太仔细啦，给赞！看来呀，按照以前的方法算总分与平均分，没办法比较谁更适合“优秀学生”。那哪位同学可以想出一个厉害的方法解决这一问题呢？ 生3: 我认为可以从单项的成绩比较谁更适合。而且我认为平时成绩最重要，因为平时成绩体现的不仅是平时的学习成绩，同时也反应了平时的品德和作风。
师： 大家有没有发现我们同学3很有自己的想法啊！好想法就同样赞！那大家觉得这个方法如何啊？
生4：老师我想说平时成绩虽重要，可期中、期末成绩也很重要的，不能只看一个成绩就决定谁更适合，缺失公平性！
师：老师听明白了： 小4认为我们不能忽略掉期中和期末的重要性。老是觉得也很有道理呀，这可怎么办才好啊?!大家能否想到更适中的方法呢？ 师：既然这个问题这么有困扰，那老师了解一种神奇的方法能够均衡的计算出谁更适合而且呀能够均衡各项成绩重要性，大家想不想了解呀？
评析：本小节着重探索新知验证猜想，提出怎样选出适合标准的优秀学生的问 题，让学生思考分析，引导计算每位同学成绩的平均数，顺耳复习了小学学过 的平均数，为学习加权平均数做好铺垫。而实际问题中，一组数据里的各个数 据的重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数 据一个“权”，旧知识是获取新知识的基础，在现有知识的基础上，引导、启发 学生通过联想、类比，发现现有知识的局限性，学会知识联系实际。激发学生 学习的热情，引导学生积极主动的思考。引发讨论，讨论出各项成绩都有不同 的重要性，从而引出“权”。
●引古论今，明白定义 生：想！
师：接下来老师带大家走进新知识“加权平均数”的学习世界。
看到“加权平均数”五个字，大家最关注什么呢？ 生：权
师：厉害啊！同学们境界很高，第一眼就找准精髓啦！权是什么呢？（带着一种神秘的语气）不急，我们现在一起去探索。
在《孟子·梁惠王上》里面，有 “权，然后知轻重”的说法，“权” ——在古代有秤砣的意思。同学都知道，称是用来称量物品重量的。秤砣所在的位置不同，意味着物体的重量不同。从数学的角度出发，权应该表示什么呢？ 生：代表数据的重要程度。
师：对，进一步讲呢就是权表示数据所占的比重、份数、百分比。而联想加权平均数又是什么呢？
评析：数学学习的过程，是一个不断探索、不断构建、不断总结知识的过程。而本节引用数学史中“权，然后知轻重”让学生感受到数学源远流长的文化之 美之外，无形中培养了学生的美感，体会数学与生活是紧密相关的。而且让学 生感受到“权”在数学中的重要性。
二、师生互动，探究发现，聚焦思维内容
●尝试新法，解决问题
生5：加了权以后计算出的平均数！
师：漂亮！老师需要这样的声音，讲的精简到位。那现在我们再回到刚刚那道题目。如果现在设置每一项成绩各占三分之一，大家想一想应该怎么计算甲的平均成绩呢？ 生 6：把每一项成绩乘以三分之一，再相加，得到甲的分数为90分。老师是不是也可以写成这样呢？
师：很好！小6同学有认真思考哦！其实在这里三分之一分别是85、95、90的权。如果现在设置每一项成绩的权都是1呢？快！大家想小6一样认真思考啊！小7同学来是要来说一下计算过程么？
生7：嗯~老师我发现权都是1，就是说三项成绩的比重都是一样的。
师：所以你是根据上一道题目的经验，用每一项成绩乘以1以后相加，再除以三，得到答案为90分。那你每一项乘以的1就是？ 生7：权？
师：对!再准确一点是各项成绩对应的权。那除以的3又是什么呢？ 生7：就是权的和！
师：厉害！面对老师重重问题都对答如流啊！后生可畏啊！！对比问题1和问题2，我们有什么发现？
生：算出的结果是相同哒。
师：那如果每一项的成绩的权是2呢？还相同吗？ 生：结果都是相同的！
师：没错，从这三题我们可以发现，只要权相等，算加权平均数就跟算简单平均数是？ 生：是相同的。
师：又对啦！想一想，简单平均数和加权平均数有着什么样的关系呢？老师要找一位同学分享一下想法啊！来，小8！
生8：我是想以前学的简单平均数应该也是加权平均数
师：嗯，很对！只不过权是相等的！小8很会发现哦！所以同学们要善于发现新旧知识的联系与区别，这样才能帮助我们更好的理解概念！
评析：教师利用学过的知识创设出一个情景，通过与小学学习的平均数的类比，让学生初步体会加权平均数的计算方法，给学生的思维提供了一个生长的空间，让学生感觉到有方向，但又不确定能否推理出来。问题的设计让同学们感受加 权平均数的计算方法。同时提醒同学们要善于发现新旧知识的联系与区别。让 学生感觉到跳一跳能够的着，极大的激发了学生的兴趣和求知欲。●细心辨析，归纳概念
师：现在，我们继续将刚刚那道题目变一变。把三项成绩的权分别设为4、3、3。这时候权不一样了，我们要怎么进行计算呢？请同学们用1分钟同桌之间交流想法，再用两分钟时间动手计算。（三分钟过后）师：有没有同学计算好啦？好，同学9分享一下计算过程。
生9：老师我是通过前面权相等的计算方法进行思考，用每一项成绩，乘以它所对应的权相加后再除以所有权的和 的。
师：哦~小9同学是通过类比权相等时来计算的。想法很独特！那我们现在来看看正确的答案。哇哦，答案相同！最后算得甲是89.5分，乙是90.5分。大家谢谢小9的新想法！鼓掌 师：现在我们已经能计算三个数的的加权平均数了。如果现在给出n个数：x1.x2，x3„„xn，他们的权用希腊字母欧米噶来表示，分别是w1，w2,„„wn，那大家能不能类比这个方法，计算这n个数的加权平均数呢？请大家先在稿纸上试一试。（老师自主找个例子同学）
师：大家看A同学是这样写的。同学A你能解释一下你所列的这个式子吗？
生：我是发现左边的式子中的85、95、90，就对应x1，x2，x3，而4、3、3就是他们对应的权。然后我对比了左边的式子得出，每个数字乘以它所对应的权后相加，最后除以权和，得到这n个数的加权平均数。师：同学们，赞同他的说法吗？ 生：赞同（同学们异口同声）
师：都赞同！老师真高兴大家都会啊！同学A通过对左边式子的仔细观察和认真分析，然后类比提炼出加权平均数的计算公式！这种仔细观察、认真思考的态度很值得我们大家学习！同学A要继续保持这种良好的品质哦！
评析：学生通过独立的完成例题的平均数计算，并根据计算结果判断，猜想是 否正确，初步体验“权”的意义巩固加权平均数的计算方法，强化学生对“权” 和“加权平均数”的认识，渗透从特殊到一般的数学思想方法，为加权平均数 公式的得出做好铺垫从上面的探索基础上，教师把有限个数变为无限个数，提 出问题，学生思考归纳出n个数的加权平均数公式让学生知道小学学过的平均 数其实就是特殊的加权平均数，实现新旧知识的衔接和统一。
课堂，应该成为学生探究与发明的“加油站”，而并非是每个知识点的“终 点站”。所以，我们应在把握教学内容本质的基础上，适当拓展教学内容，让教 学建构在探究与发明的基础上，不断引发学生深入学习的信心和兴趣，让他们 体会“跳一跳可以摘到果子”的喜悦。
三、应用新知，拓展提高，开发思维潜能 ●变式训练，加深理解
师：下面我们来练一练，进一步熟悉所学的知识。还是刚刚的题目。变一变，假设平时成绩最重要，设置各项成绩分别占百分之50%、20%、30%，该评选谁为“优秀学生”呢？当期末成绩最重要时，设置三项成绩的比为3:2:5，这时又该选谁呢？给同学们6分钟时间进行演练。
师：好！我们先看第五问，哪位同学先来同大家分享下自己的算法呀？ 生B：老师我来吧
师：够勇敢！先看看我们同学B的。大家来欣赏一下，同学B写得怎么样呀？ 生：很细、很好、有条理
师：嗯，那大家是不是该学习这些优点啊。解题步骤很详细，书写也很规范。那答案对了吗？ 生：对啦！
师：没错！结果也是正确的，算得甲乙的成绩分别是88.5和91.5，选乙为优秀学生。来看看老师的解题过程。相对于同学B写的，老师没有写分母。因为用百分比表示权的时候，权的和等于1，分母可以忽略不写。在数学上我们提倡的是简、精、美！下面，我们来看看第六问。大家看看同学C的解题过程。觉得她写得如何？
生D：答案是正确的。但她这样先计算出每项成绩的占的百分比较麻烦。可以直接把各项成绩的比代入公式计算的。
师：同学C也是很厉害的啊，稍稍完善一下就完美啦！同学D评价得很仔细啊！各项成绩的比也是权，直接代入加权平均数的计算公式就可以了。
师：好的，现在请同学们对比一下，前后两种情况计算出的的结果一样吗？ 生： 不一样！第五问中，甲是88.5分，乙是91.5分。师：那说明了什么呢？
生：说明不同的权会产生不同的结果。师：没错！
评析：变式进一步开拓了学生的视野，增长了学生的见识。同学在不断地讨论 和质疑、答疑的过程中，发现权还有百分比和比两种表示方法，同时也让学生 在练习中明白不同的权会产生不同的结果。这样，思维得到了充分的锻炼，碰 撞出了许多智慧的火花。
四、回顾总结，交流收获，梳理思维脉络 ●反思小结，畅谈收获
师：好啦！今天的新课内容就讲到这里。请同学们谈一谈通过今天的学习你还有哪些困惑和收获呢？
生：（同学们都踊跃发言）
师：真好！大家发言很积极，通过大家的分享我了解到，同学们在今天的学习中：了解了权的意义和三种表示方法，学会了怎么计算加权平均数。还体验到了用对比和从特殊到一般的方法进行学习。同时大家还提出困惑。这个问题，大家可以跟老师或同学进行交流。最后我们来看看课后作业，必做题为课本练习的第一题，选做题是课本练习第二题。最后一题是开放题，请同学们当一回招聘人员，按照你们公司的需要，设置各项成绩的权，并计算出选谁做英语翻译。好啦!今天的课就上到这里，谢谢同学们！
评析：总结的不仅是知识，更重要的是方法；作业布置不仅有书面作业，还有 自主的课下思考，本节三种类型的作业，巩固新知的同时，提升发散思维 帮助学生总结知识，形成体系，最终使学生探究热情得以延续。【教学总评】
一堂好课的评价标准，不是学生学了多少知识，完成了多少题目，而是在这个 过程中体会运用只是解决问题的方法，享受学习过程中的快乐。课堂教学的直 接目标，是为了帮助学生的学习，促使学生“学会”与“会学”。一堂好的数学 课的标准，是要让学生真正的参与到学习中，获得知识，形成能力。相信学生，把舞台交给学生，这节《加权平均数》的新授课很好的诠释了这一点。教学有法，教无定法。仁者见仁，智者见智。
