难点31数学归纳法解题（定稿）_数学归纳法解题技巧

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难点31数学归纳法解题

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n1)(an2+bn+c).1

2●案例探究

·a.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，Sk=－1应舍去，这一点往往容易被忽视.2k

3111}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式.SnS12技巧与方法：求通项可证明{

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11成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)2

22(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ 3

212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－ 3315解：∵an,Sn,Sn－

(n1)12同理可得：a

=－,由此可推出：a=.具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()

A.30B.26C.36D.6

2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()

A.n=1B.n=2C.n=3D.n=

4二、填空题

3.(★★★★★)观察下列式子：1131151117,122,1222…则可归纳出_________.22342323

44.(★★★★)已知a1=

三、解答题 3an1,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.an

325.(★★★★)用数学归纳法证明42n1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.与13

S2n＜那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

(k1)(k2)=(3k2+5k+12k+24)12

(k1)(k2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 12也就是说，等式对n=k+1也成立.综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)

f(k+1)能被36整除

∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.11713 21221224

11113(2)假设当n=k时成立，即 k1k22k246.证明：(1)当n=2时，则当nk1时,1111111k2k32k2k12k2k1k1

131111311 242k12k2k1242k12k2

13113242(2k1)(k1)24

b11b117.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2)与k1(3k2)3k43(k1)13k1

111从而(11)(1)(1)(1)(k1)1,即当n=k+1时，(*)式成立 43k23k1

由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a＞1时，Sn＞11logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1 33

8.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－9, 2

an1,即an+2=q·an an2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 两式相除，得

于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－1nq(n=1,2,3,…)