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数学归纳法教学设计

（一）一、教学目标：

1．了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法． 2．理解数学归纳原理的科学性．

3．初步掌握数学归纳法的适用范围及证明步骤． 4．体会归纳演绎推理的思想；

5．感受归纳法在实际生活中的应用，渗透辩证的思想方法．

二、教学重点：数学归纳法原理的理解和基本步骤；

教学难点：数学归纳法原理的理解．

三、教学用具：投影仪或多媒体

四、教学过程：

1．介绍归纳法，引出课题

①观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3＋11，16＝5＋11，„„78＝67＋11，„„我们能得出什么结论（教师启发、引导，注意捕捉学生的议论）？这就是由1742年德国数学家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想”：任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和

②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”．

这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确？（Ⅰ）是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．（Ⅱ）是完全归纳法，结论可靠，但一一核对困难．

数学中有一种数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确（出示课题）．

2．讲清原理，得出方法步骤

在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么a1a10d,a2a11d,a3a12d,a4a13d,an?由以上可知，ana1(n1)d，结论的猜测运用的是归纳法，是完全归纳法还是不完全归纳法？结论正确吗？如何证明呢？

①先看ana1(n1)d，对于n1成立吗？（成立）

②假设ana1(n1)d，对于nk成立，那么当nk1时，成立吗？即若aka1(k1)d成立，当nk1时，ak1a1[(k1)1]d成立吗？（启发学生从等差数列定义入手，ak1akd，进行推导证明．）

③这就是数学归纳法．它一定能保证结论正确．

举多米诺骨牌的例子，形象地说明数学归纳法成立的道理．

让学生回忆自己小时候学数数的经历：先会数1，2，3；再数到10；再数到20以内的数；再数到30以内的数„„，终于有一天我们可以骄傲地说：我什么数都会数了．为什么

呢？（教师注意激活学生原有的学习体验）

因为会数1，2，3„„有了数数的基础，会在前一个数的基础上加1得到后一个数，进行传递，所以，可以说什么数都会数了．

④得到数学归纳法的两个步骤：

（Ⅰ）证明当nn0（如n01或2等）时，结论正确；

（Ⅱ）假设nk(kN且kn0)时结论正确，证明nk1时结论也正确．

3．初步应用，让学生形成新的知识体验

例1 用数学归纳法证明135(2n1)n分析：①135(2n1)n2是由无数命题组成：

1号命题：12号命题：132

3号命题：1353

„„

222k号命题：135(2k1)k2

k1号命题：135(2k1)(2k1)(k1)2

„„

②怎样验算n1时，等式成立？

③如何实现nk到nk1的过渡？

④得到什么式子才能称时等式成立？

⑤书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式．

教师边讲边板书，为学生提供一个范例，供证明时模仿．

4．课堂练习，巩固提高

板演①②③，时间紧可采用分组练习，用多媒体平台投影学生解答，教师及时点评，抓住学生板演中“美丽的错误”加深对原理的理解，强调数学归纳法略显“刻板”的证题步骤．

5．归纳小结

①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；

②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；

③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；

④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．

五、布置作业

1．教科书习题2.1第1、2题．