高二文反证法_高二文反证法

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§2.2.2反证法

滕州一中东校韩霞

教材分析

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力.课时分配

本节内容用1课时完成，使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤.教学目标

重点：理解反证法的推理依据；掌握反证法证明命题的方法；反证法证明题的步骤.难点：掌握反证法的证明步骤，体会反证法证明命题的思路方法.知识点：

1、反证法的概念

2、反证法证明题的基本方法.能力点：培养学生通过事物的结论的反面出发，进行推理，使之引出矛盾，从而证明事物的结论成立的简单推理能力与思维能力.教育点： 通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性.自主探究点：通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.考试点：掌握反证法证明命题的方法.易错易混点：否定结论时应对结论全盘否定，不能部分否定.拓展点：初步掌握反证法的概念，理解反证法证题的基本方法，培养学生用反证法简单推理的技能.教具准备：多媒体课件

课堂模式：采用设问、引导、启发、发现等教学方法.一．引入新课

故事：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷爬上树去摘果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.问题1:王戎是怎样知道李子是苦的呢？

问题2:你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法？

（1）学生经过思考，知道王戎是这样判断出李子是苦的：假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.（2）我们不妨把这则故事改编成数学中证明题的格式，即写出“已知、求证、证明过程”来总结王戎的推理方法：

而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.【设计说明】让学生能够从具体的例子中，感受到反证法的存在.【设计意图】爱因斯坦说：“兴趣是最好的导师.”这样引入让学生明确数学来源于生活、科研的需要，同时又能解决生活中的问题，激发了学生兴趣，增强学生求知欲.二．探究新知

问题1：上面的证明方法和我们上节课学习的综合法和分析法相同吗？上面这种证明方法在数学中叫做什么呢？

生：不同, 综合法和分析法是直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性.上面这种证明方法不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的.它是一种间接证明方法，反证法就是一种常用的间接证明方法.【设计意图】让学生知道在数学证明方法中，还有这样一种证明方法反证法，它是与直接证明不同的一种证明方法.问题2：在学习命题的知识时，我们主要学习了哪些词的否定？

【设计意图】让同学们能回忆起某些特殊词的否定，为后面的题目做铺垫.三.理解新知

例1．已知a0，证明x的方程axb有且只有一个根.证明：由于a0，因此方程至少有一个根x

ba

.ax1b,(1)ax2b,(2)

如果方程不只一个根，不妨设x1,x2是它的两个不同的根，即

（1）-（2）a(x1x2)0

因为x1x2，所以应有a0，这与已知矛盾，故假设错误.所以，当a0时，方程axb有且只有一个根.问题3：根据反证法的定义，你能总结出用反证法证明题目的步骤吗？ 学生讨论后总结：反证法证明题的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾.（3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确.【设计意图】通过教师设问，学生思考、探究、类比，学生得出了反证法的概念，初步明确反证法的步骤.练习：用反证法证明：一个三角形内，不能有两个钝角.证明：假设ABC中，有两个钝角，即A900,B900，于是AB1800，更有

ABC180，这与三角形内角和定理矛盾.∴一个三角形内，不能有两个钝角．

四．运用新知

例

2、已知直线a,b和平面，如果a,b,且a//b，求证a// 证明：因为a//b，所以经过直线a,b确定一个平面.因为a,而a, 所以,是两个不同的平面.因为b,且b,所以b

下面用反证法证明直线a与平面没有公共点.假设直线a与平面有公共点P，则Pb 即点P是直线a,b的公共点，这与a//b矛盾.所以a//.问题4：你能总结在什么情形下应用反证法呢？

师生共同总结：①直接证明困难;②需分成很多类进行讨论．

③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题；

④结论为 “唯一”类命题；

【设计意图】教师从例题分析中小结反证法知识，提高学生的解题能力.练习：平面交平面于直线a，直线b在平面内，直线c在平面内，abA,c//a

求证：b,c是异面直线.证明：假设b,c不是异面直线，则b,c平行或相交若c//b,c//a,a//b这与abA矛盾.b不平行于c，若cbB，Bb,Bc

B是，的公共点，又=a Ba,则c与a相交，与c//a矛盾.b,c是异面直线

【设计意图】通过两个练习，巩固本节课所学知识，加深印象.问题5：你能总结反证法的矛盾有哪些种?

(1)与已知条件矛盾，（2）与公理、定理、定义矛盾,(3)与假设矛盾

【设计意图】同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾.五.课堂小结

（1）、反证法的一般步骤；（2）、反证法的关键：在正确的推理下得出矛盾，可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等；（3）、反证法适合证明哪些命题？否定性问题、存在性、唯一性命题，至多至少问题，结论的反面比原结

论更具体、更易于研究和掌握的问题.六.布置作业

必做：

1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）（1）结论相反判断，即假设；（2）原命题的条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论

A、（1）（2）B、（1）（2）（4）C、（1）（2）（3）D、（2）（3）

2、命题“ABC中，若AB则ab”的结论的否定应该是（）A、abB、abC、abD、ab3、命题“关于x的方程axb,(a0)的解是唯一的”的结论的否定是（）A、无解B、两解C、至少两解D、无解或至少两解

4、命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）A、有两个内角是直角B、有三个内角是直角

C、至少有两个内角是直角D、没有一个内角是直角

5、对一个命题的证明，下列说法错误的是（）Ａ．若能用分析法，必能用综合法

Ｂ．若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法 Ｃ．若用直接证法难度较大时，可考虑反证法 Ｄ．用反证法就是要证结论的反面成立

6、已知a,b,c均为实数，且ax2y求证：a,b,c中至少有一个大于0.选做：

1、已知a,b,c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax22bxc0，bx2cxa0,cx2axb0至少有一个方程有两个相异实根.,by2z

,cz2x



6，2.已知：f(x)xpxq，f(1)f(3)2f(2)2 求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于

2.答案：必做：1.C、2.B、3.D、4.C、5.Ｄ．

6.证明：假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0，得abc0，而abcx1y1z130，即abc0，与abc0矛盾，a,b,c中至少有一个大于0.选做：1.证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，22

2则14b4ac0,24c4ab0,34a4bc0.222

相加有abbcca0① 由题意a,b,c是互不相等的非零实数，∴①式不能成立.222

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.2.证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于

f(1)

12,f(2)f(1)

12,f(3)

12，则，12

即有

12,

f(2),

f(3)

∴2f(1)f(3)2f(2)2与已知f(1)f(3)2f(2)2矛盾，∴假设不成立，即原命题成立.七.教后反思：

亮点是:设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获.不足是: 对于反证法的熟练掌握还需以后随着进一步的学习深入，逐步加强和提高.八、板书设计的