分式函数难点_分式型函数

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关于y=f（x）=x^2/1+x^2函数求值问题

如果记y=x^2/1+x^2=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=1^2/1+1^2=1/2；f（1/2）表示当x=1/2时y的值，即f（1/2）=（1/2）^2/1+（1/2）^2=1/5，求f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）的值（结果用含n的代数式表示，n为正整数）

解：

因为f（x）=x^2/1+x^2

所以f(1/x)=(1/x)^2/[1+(1/x)^2]上下乘x^2

=1/(1+x^2)

所以f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(1+x^2)=(1+x^2)/(1+x^2)=1 所以f(1)=1/(1+1)=1/2

f(2)+f(1/2)=1

……

f(n)+f(1/n)=1

所以f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）

=1/2+1+1+……+1

=1/2+(n-1)

=n-1/2