初中数学竞赛专题选讲 配方法(含答案)_初中数学竞赛专题选讲

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初中数学竞赛专题选讲（初三.3）

配方法

一、内容提要

1.配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式

（a±b）2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：

①由a2+b2配上2ab，②由2 ab配上a2+b2，③由a2±2ab配上b2.2.运用配方法解题，初中阶段主要有：

① 用完全平方式来因式分解

例如：把x4+4 因式分解.原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝„„

这是由a2+b2配上2ab.② 二次根式化简常用公式：aa，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简526.我们把5－26写成 2－223＋3 ＝(2)2－223＋()2 ＝（2－3）2.这是由2 ab配上a2+b2.③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a2≥0，∴当a=0时，a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a－2 的最值.∵a2+2a－2= a2+2a+1－3=(a+1)2－

3当a=－1时,a2+2a－2有最小值－3.这是由a2±2ab配上b

2④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需

要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y.2

解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为（x+1）2+(y－2)2=0.要使等式成立，必须且只需

x10

.y20

x

1解得

y2

此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题 例1.因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2)（折项，分组）

＝（ab+1）2－(a－b)

2（配方）

＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）

本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.例2.化简下列二次根式：

①74；②23；③104322.解：化简的关键是把被开方数配方

①743＝4223＝(23)

＝23＝2＋3.2423(1)2

②23＝2＝＝

222

＝

622(1)

＝.22

③4322＝4(21)

＝42＋1）

＝642＝42222＝(2

2)2

=2－2.例3.求下列代数式的最大或最小值：

① x2+5x+1；② －2x2－6x+1.552

5解：①x+5x+1＝x+2×x+－+

14`22

＝（x+

∵（x+

5221）－.2

452）≥0，其中0是最小值.2521

即当x=时，x2+5x+1有最小值－.24

②－2x2－6x+1 ＝－2（x2+3x-）

3991

=－2(x2+2×x+－)

2442311

＝－2（x+）2+

∵－2（x+）2≤0，其中0是最大值，2311

∴当x=－时，－2x2－6x+1有最大值.22

例4.解下列方程：

①x4－x2+2xy+y2+1=0 ；②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0.（折项，分组）(x2－1)2+(x+y)2=0.（配方）

根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.x10

得 

xy0

∴

x1,或

y1x1



y1

②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0.(折项，分组)(x+y)2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y－1)2＝0.（配方）∴

xy30x4

∴

y10y1

例5.已知：a, b, c, d 都是整数且m=a2+b2,n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.解：mn=(a2+b2)(c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2

= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c2－2abcd(分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2

例6.求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解

解：x2-4x+16+y2+10y+25=25(添项)（x－4）2+(y+5)2＝25（配方）

∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.2222

（x4)0(x4)25（x4)9(x4)16

或或或∴ 2222

(y5)25(y5)0(y5)16(y5)9

由

x40x4

得

y55y0

x4x9



y10y-5

x1

„„ 

y5

同理，共有12个解

三、练习 1.因式分解：

①x4+x2y2+y4 ；

②x2-2xy+y2-6x+6y+9 ；③x4+x2-2ax-a2+1.2.化简下列二次根式：

①4x212x94x220x25（－

35＜x

x24x33x2

②(1

4x2

③2；④3

5；

⑤4423；⑥335； ⑦（14＋65）÷（3＋5）；⑧（3x）2＋x8x16.3求下列代数式的最大或最小值： ①2x2+10x+1 ；②－

x+x-1.2

4.已知：a2+b2－4a－2b+5.求：

ab322的值.5.已知：a2+b2+c2=111,ab+bc+ca=29.求：a+b+c的值.6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0,abc=8.试判断代数式

值的正负.abc

x46x32x216x23

7.已知：x=83,求：.x28x15

参考答案

1.②（x－y－3）2

2.①8，②0.5x，③3－22，④ ⑦3＋，⑧7－2x（x≤3）3.①当x=－

2，⑤2＋3，⑥ 2

5231时，有最小值－②x=1时，有最大值－ 222

4.a=2, b=1 代数式值是3＋22

5.±136.负数。由（a+b+c）2=0 得出ab+ac+bc

4.值为5。先化简已知为4－3，代入分母值为2，可知x2－8x+13=0

分子可化为（x2+2x+1）(x2－8x+13)+10 ＝10 5.配方（a－b）2+(b－c)2=0 6.①

x1,1x2x6

②③

y1,1y1y3

x1x1x1x1

②（x-3）2+(y+5)2=9 „„ 

y1y2y3y2

7.①