均值不等式典型错误案例分析_不等式证明典型错误

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均值不等式典型错误案例分析

四川省

何成宝

题目：已知正数x，y满足x+2y=1，求解法一: ∵x+2y=1 ∴

11的最小值.xy11111=(x+2y)()≥22xy·2=42 xyxyxy11的最小值为42.xy① 故1x2x解法二: ∵ 

12y22y①+② 得 x+2y+

②

11≥2+2 xy ∴11≥1+22

xy11的最小值为1+22.xy故解法三: ∵x+2y=1

∴11112yx=()(x+2y)=3+≥3+2 2 xyxyxy11的最小值为3+22.xy

故以上三种解法得到三个不同答案,显然至少有二个是错误的.那么究竟错在什么地方呢? 错解剖析: ∵ x=2y, 11= 矛盾 xy∴不能取等,故解法一错.由①式 x=

1x=1, ∵ xR+ ∴x=1 x由②式 2y=

122+, ∵ yR∴y=.y=y22不满足已知条件x+2y=1,故解法二错.当且仅当 2yx 时,等号成立,且满足均值不等式的条件“一要正,二可定,三能等.”xy