《高等数学》各章知识点总结——第1章_高等数学第一章知识点

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第1章函数与极限总结

1、极限的概念

（1）数列极限的定义

给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正整数N  使得对于n >N 时的一切n 恒有

|xna |

nlimxna或xna(n)

（2）函数极限的定义

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当xM0）有定义，如果存在常数A 对于任意给定的正数(不论它多么小) 总存在正数（或存在X）使得当x满足不等式0

那么常数A就叫做函数f(x)当xx0（或x）时的极限 记为

xx0limf(x)A或f(x)A(当xx0)（或limf(x)A）

x类似的有：如果存在常数A对0,0,当x:x0xx0（x0xx0）时，恒有f(x)A，则称A为f(x)当xx0时的左极限（或右极限）记作xx0limf(x)A(或limf(x)A)

xx0xx0xx0xx0显然有limf(x)Alimf(x)limf(x)A)

如果存在常数A对0,X0,当xX(或xX)时，恒有f(x)A，则称A为f(x)当x（或当x）时的极限记作limf(x)A(或limf(x)A)

xx显然有limf(x)Alimf(x)limf(x)A)

xxx

2、极限的性质（1）唯一性

若limxna，limxnb，则ab

nn若limf(x)Alimf(x)B，则AB

x(xx0)x(xx0)（2）有界性

（i）若limxna，则M0使得对nNn,恒有xnM（ii）若limf(x)A，则M0当x:0xx0时，有f(x)M

xx0（iii）若limf(x)A，则M0,X0当xX时，有f(x)M

x（3）局部保号性

（i）若limxna且a0(或a0)则NN，当nN时，恒有xn0(或xn0)

n)A，且A0(或A0)，则0当x:0xx0时，有

（ii）若limf(xxx0f(x)0(或f(x)0)

3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列{xn},{yn},{zn}

若①n0N,当nn0时有ynxnzn ②limynlimzna，nn则limxna

n给定函数f(x),g(x),h(x)，若①当xU(x0,r)（或xX）时，有g(x)f(x)h(x)②limg(x)limh(x)A，x(xx0)x(xx0)0则limf(x)Ax(xx0)（ii）单调有界准则

给定数列{xn}，若①对nN有xnxn1(或xnxn1)②M(m)使对nN有xnM(或xnm)则limxn存在n

若f(x)在点x0的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则limf(x)（或limf(x)）

xx0xx0存在4、极限的运算法则

（1）若limf(x)A，limg(x)B

x(xx0)x(xx0)则(i)lim[f(x)g(x)]AB

x(xx0)(ii)lim[f(x)g(x)]AB

x(xx0)(iii)limx(xx0)f(x)A（B0）g(x)B0（2）设（i）ug(x)且limg(x)u0（ii）当xU(x0,)时g(x)u0

xx0（iii）limf(u)A

uu0则limf[g(x)]limf(u)A

xx0uu05、两个重要极限

（1）limsinx1x0xsinu(x)1

u(x)0u(x)limlimsinx110，limxsin1，limxsin0

xxx0xxxxu(x)11lim1（2）lim1eu(x)xu(x)xe;

lim(1x)ex01xv(x)0lim1v(x)1v(x)e;

6、无穷小量与无穷大量的概念

（1）若lim(x)0，即对0,0,当x:0xx0（或x(xx0)xX）时有(x)，则称当xx0(或x)，(x)无穷小量

（2）

或X0),若limf(x)即对M0,0(当x:0xx0x(xx0)（或xX）时有f(x)M则称当xx0(或x)，f(x)无穷大量

7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）limf(x)Af(x)A(x),其中limx(xx0)x(xx0)(x)0

（f(x)0）lim（2）limf(x)0x(xx0)x(xx0)1 f(x)（3）limg(x)limx(xx0)x(xx010 g(x))（4）limf(x)且M0,当x:0xx0（或xX）时有g(x)M，x(xx0)则lim[f(x)g(x)]

x(xx0)（5）limf(x)0且M0,当x:0xx0（或xX）时有g(x)M，x(xx0)则lim[f(x)g(x)]0

x(xx0)nn（6）limfk(x)0(k1,2,,n)则limx(xx0)x(xx0)k1fk(x)0,limx(xx0)k1fk(x)0,8、无穷小量的比较

x(xx0)limf(x)0,limg(x)0,lim(x)0

x(xx0)x(xx0)若（1）lim小。（2）limx(xx0)f(x)C0,，则称当xx0(或x)时，f(x)与g(x)是同阶无穷g(x)x(xx0)f(x)1，则称当xx0(或x)时，f(x)与g(x)是等价无穷小，记作g(x)。f(x)g(x)（xx0(或x)）（3）limx(xx0)f(x)0，则称当xx0(或x)时，f(x)是g(x)是高阶无穷小，记作g(x)。f(x)o(g(x))（xx0(或x)）（4）M0xU(x0,)（或xX），有（xx0(或x)）（5）lim0f(x)M，则记f(x)O(g(x))g(x)x(xx0f(x)C0(k0)，则称当xx0(或x)时，f(x)是(x)是kk[(x)])阶无穷小，9、常用的等价无穷小

当x0时，有（1）sinx~x~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~e1,（2）1cosx~x12x.（3）ax1~xlna(0a1),（4）(1x)1~x210、函数连续的概念（1）函数连续的定义

设yf(x)在点x0及其邻域U(x)内有定义，若（i）limylim[f(x0x)f(x0)]0

x0x0或（ii）limf(x)f(x0)

xx0或（iii）0,0,当x:xx0时，有f(x)f(x0).则称函数yf(x)在点x0处连续

设yf(x)在点(x0,x0]内有定义，若limf(x)f(x0)，则称函数yf(x)在点

xx0x0处左连续，设yf(x)在点[x0,x0)内有定义，若limf(x)f(x0)，则称函数yf(x)在点

xx0x0处右连续

若函数yf(x)在(a,b)内每点都连续，则称函数yf(x)在(a,b)内连续

f(x)f(a)，limf(x)f(b)，则称若函数yf(x)在(a,b)内每点都连续，且limxaxb函数yf(x)在[a,b]上连续，记作f(x)C[a,b]（2）函数的间断点

设yf(x)在点x0的某去心邻域U(x)内有定义若函数yf(x)：

（i）在点x0处没有定义

（ii）虽然在x0有定义 但limf(x)不存在

xx0o(3)虽然在x0有定义且limf(x)存在 但limf(x)f(x0)

xx0xx0则函数f(x)在点x0为不连续 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。设点x0为yf(x)的间断点，（1）limf(x)limf(x)f(x0)，则称点x0为yf(x)的可去间断点，若（2）xx0xx0xx0limf(x)limf(x)，则称点x0为yf(x)的跳跃间断点，xx0可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点

（3）limf(x)或limf(x)则称点x0为yf(x)的无穷型间断点，xx0xx0（4）若limf(x)或limf(x)不存在且都不是无穷大，则称点x0为yf(x)的振荡型xx0xx0间断点，无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点

11、连续函数的运算

（1）连续函数的四则运算

若函数f(x)g(x)在点x0处连续则f(x)g(x),f(x)g(x),（2）反函数的连续性，若函数yf(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，则其反函数xf其对应的区间Iy{yyf(x),xIx}上也单调增加（或单调减少）且连续。（3）复合函数的连续性

设函数yf[g(x)]由函数yf(u),ug(x)复合而成，U(x0)Dfg，若（1）limg(x)u0(或limg(x)g(x0)u0)

xx0xx0f(x)(g(x0)0)在点x0处也连续 g(x)1(y)在（2）limf(u)f(u0)则limf[g(x)]f[limg(x)]f(u0)

uu0xx0xx0

（或limf[g(x)]f[limg(x)]f[g(x0)]f(u0)）

xx0xx0（4）初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的（5）闭区间上连续函数的性质

（i）有界性

若f(x)C[a,b]，则yf(x)在[a,b]上有界