高数下册总结_高等数学下册总结
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篇一：高数下册总结
高数（下）小结
一、微分方程复习要点
解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解.一阶微分方程的解法小结：
二阶微分方程的解法小结：
非齐次方程y???py??qy?f(x)的特解y?
主要: 量方程、线性微分方程的求解；
2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；
二、多元函数微分学复习要点
1、显函数的偏导数的求法 在求
?z?x 量，对x求导，在求
?z?y 量，对y求导，所运
求导法则与求导公式.2数的求法
u???x,y?，v???x,y?，则
?z?x ?z?u ?u?x ?z?v ?v?x ?z?y ?的形式为：
一阶
1、可分离变、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
一、偏导数的求法 时，应将y看作常时，应将x看作常用的是一元函数的、复合函数的偏导设z?f?u,v?，3 ?z?u ? ?u?y ? ?z?v ? ?v?y 几种特殊情况：
1u???x?，v???x?，则2）z?f?x,v?，v???x,y?，则
?z?x dzdx???f?vdzdu???u?x ??z?v ?dvdx ?v?y ? ?f?x ?v?x ?z?y ? ?f?u ? 3则
3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况
?z?x ? dzdu ? ?u?x ?z?y ? dzdu ? ?u?y 设z?z?x,y?是由方程f?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则
?z?x fxfz ??）z?f?u,v?，）z?f?u?，u???x,y?，?fz ?0?，?z?y ?? fyfz ?fz ?0? 或者视z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出
2）方程组的情况 ?z?x(或 ?z?y).?f?x,y,u,v??0?z?z)即可.由方程组?两边同时对x(或y)求导解出(或
?x?y??gx,y,u,v?0?
二、全微分的求法 方法1：利用公式du? ?u?x dx? ?u?y dy? ?u?z dz 方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：
??z du???u? dz?? ?z?dx??x?? ?z?v?z?y dv dy
三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法
?x???t? ? 1）设空间曲线г的参数方程为 ?y???t?，则当t?t0时，在曲线上对应点 ?z???t??p0?x0,y0 ? ,z0?处的切线方向向量为t???t0?,? ?
?t0?,??t0??，切线方程为
x?x0 ??t0? ? y?y0 ? ?t0? ? z?z0 ? ?t0?
法平面方程为 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程为f? x,y,z??0，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量
?n? ?f x ,fy,fz ? p0，切平面方程为
fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法线方程为 x?x0 fx?x0,y0,z0? ? y?y0 fy?x0,y0,z0? ? z?z0 fz?x0,y0,z0? 若曲面?的方程为z?f?x,y?，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量
? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为
fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法线方程为
x?x0fx?x0,y0? ? y?y0fy?x0,y0? ?z?z0?1
四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法
在点p0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由fx?x,y??0，fy ?x,y??0点? x0,y0 ? a?fxx ?x0 ,y0 ? b?fxy ?x0 ,y0 ? c?fyy ?x0,y0?.2 c?b1 ?x ,y?取得极值，且当a?0时有极大值，当a?0 2则f?x,y?在点?x0,y0?处无极值.3）若ac?b 2 ?0 ?x ,y?是否取得极值.设函数z?f?x,y?，解出驻，记，）若a?0，则f 在点?x0,y0?处时有极小值.）若ac?b2?0，不能判定f 在点?x0,y0?处 2 条件极值的求法
函数z?f?x,y?在满足条件??x,y??0下极值的方法如下：
1）化为无条件极值：若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法
作辅助函数f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?为参数，解方程组
篇二：高数下册总结(同济第六版)高数（下）小结
一、微分方程复习要点
解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解.一阶微分方程的解法小结：
二阶微分方程的解法小结：
? 非齐次方程y???py??qy?f(x)的特解y的形式为：
主要: 一阶
1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；
2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；
3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
二、多元函数微分学复习要点
一、偏导数的求法
1、显函数的偏导数的求法 在求
?z?z时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运?x?y 用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法
设z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，则
?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v，?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 几种特殊情况： 1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，则2）z?f dzdz?u?zdv dxdu?x?vdx?f?v ?x,v?则?x??x??v??x，?z?f ?z?f?v?? ?y?u?y 3则
3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况
?zdz?u?zdz?u，?xdu?x?ydu?y 方程f?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则
f?z ??x ?xfz ?fz ?z ?0? ?y fyfz ?fz ?0? 或者视z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出 2由方程组? ?z?z(?f?x,y,u,v??0?z?z 求导解出(或)即可.?x?y?g?x,y,u,v??0 方法1：利用公式du? ?u?u?u，v???x,y?，）z?f?u?，u???x,y?设z?z?x,y?是由，??）方程组的情况 或).?x?y 两边同时对x(或y)
二、全微分的求法 dx?dy?dz ?x?y?z 方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：
?z??z du?dv??v??u dz?? ?z?z?dx?dy ?y???x
三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法
?x???t? ? 1）设空间曲线г的参数方程为 ?y???t?，则当t?t0时，在曲线上对应点
?z???t?? ? p0?x0,y0,z0?处的切线方向向量为t???t0?,??t0?,??t0?，切线方程为
?? x?x0y?y0z?z0 ?? ?t0?t0?t0法平面方程为 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程为f?x,y,z??0，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量
? n??fx,fy,fz? p0，切平面方程为
fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法线方程为
x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0,z0fyx0,y0,z0fzx0,y0,z0 若曲面?的方程为z?f?x,y?，则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量
? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为
fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法线方程为
x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0fyx0,y0?1
四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法
设函数z?f?x,y?在点p0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由fx?x,y??0，fy?x,y??0，解出驻点?x0,y0?，记a?fxx?x0,y0?，b?fxy?x0,y0?，c?fyy?x0,y0?.c?b1）若a 时有极小值.2）若ac?b2?0，则f?x,y?在点?x0,y0?处无极值.3）若ac?b?0，不能判定f?x,y?在点?x0,y0?处是否取得极值.2 2 ?0，则f?x,y?在点?x0,y0?处取得极值，且当a?0时有极大值，当a?0 2 条件极值的求法
函数z?f?x,y?在满足条件??x,y??0下极值的方法如下：
1）化为无条件极值：若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法
作辅助函数f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?为参数，解方程组 篇三：高数下册公式总结
第八章 向量与解析几何
第十章 重积分
第十一章曲线积分与曲面积分
篇四：高数下册积分方法总结
积分方法大盘点
现把我们学了的积分方法做个大总结。
1、二重积分
1.1 x型区域上二重积分（必须的基本方法）
（1）后x先y积分，d往x轴上的投影得区间[a,b]；（2）x [a,b]，x=x截d得截线y1(x)＃yy2(x)（小y边界y=y1(x)大y边界y=y2(x)）；
（3）b y(x)蝌f(x,y)dxdy= 蝌dx 2f(x,y)dya yd 1(x)1.2 y型区域上二重积分（必须的基本方法）
（1）后y先x积分，d往y轴上的投影得区间[c,d]；（2）y [c,d]，y=y截d得截线x1(y)＃xx2(y)（小x边界x=x1(y)大x边界x=x2(y)）；
（3）d x蝌f(x,y)dxdy= 蝌dy 2(y)f(x,y)dxc x d 1(y)1.2 极坐标二重积分（为简单的方法）
（1）总是后q先r积分；（2）b r蝌f(x,y)ds= 蝌dq 2(q)f(rcosq,rsinq)rdra r(q)d 1其中，在d上a是最小的q，b是最大的q；q [a,b]，射线q=q截d得截线r1(q)＃r r2(q)（小r边界r=r1(q)大r边界r=r2(q)）。用坐标关系
x=rcosq，y=rsinq和面积元素ds=dxdy=rdqdr代入（多一个因子r）。
当积分区域d的边界有圆弧，或被积函数有x2+y2 时，用极坐标计算二重
积分特别简单。
离 散
数 学
2、三重积分 2.1 二套一方法（必须的基本方法）（1）几何准备
(i)将积分区域w投影到xoy面，得投影区域dxy；
(ii)以dxy的边界曲线为准线，作一个母线平行于z轴的柱面．柱面将闭区域w的边界曲面分割为上、下两片曲面s2:z=z2(x,y（）大z边界）；
s 1 :z=z1(x,y（）小z边界）
（(x,y)dxy，过(x,y)点平行于z轴的直线截w得截线z1(x,y)＃z z2(x,y)）
；（2）z蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=蝌
dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。
w d1(x,y)xy 还有两种（w往xoz或yoz面投影）类似的二套一方法（举一反三）。2.2 一套二方法（为简单的方法）（1）几何准备
(i)把w往z投影得轾犏臌 c,d；(ii)任意给定z?轾犏臌
c,d，用平面z=z截w得截面（与z有关）dz；（2）d蝌蝌
f(x,y,z)dxdydz=dz f(x,y,z)dxdy，c 蝌 w dz 还有两种（w往x或y轴投影）类似的一套二方法（举一反三）。2.3 柱面坐标计算三重积分（为简单的方法）
（1）把积分写成二套一zx,y)蝌蝌
f(x,y,z)dxdydz=蝌
dxdy2(f(x,y,z)dzz,y)w d1(xxy（2）用极坐标计算外层的二重积分
z蝌蝌f(x,y,z)dv= 蝌
dxdy2(x,y)f(x,y,z)dz zw d1(x,y)xyb r2(q)zrcosq,rsinq)= 蝌dqrdr f(rcosq,rsinq,z)dz a r 2(1(q)z 1(rcosq,rsinq)（注意：里层的上下限也要用x=rcosq，y=rsinq代入）。（当用极坐标计算
外层二重积分简单时。）
还有两种（w往xoz或yoz面投影的二套一）类似的极坐标计算方法（举
第1章
集 合离 散
数 学
2.3 三重积分（为简单的方法）
x=rcosqsinjy,=rsiqn sjinz=,r jc dv=dxdydz=r 2 sinjdrdqdj个因子r 2 sinj
蝌
f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdrdqdj w w 下限变成三次积分（总是先r后j最后q积分）
f(x,y,z)dvw b jr dq2(q)dj 2(q,j)
一反三）。
球面坐标计算（1）用坐标关系和o体积元素（多一）代入
蝌蝌f(x,y,z)dv=；（2）三种情况定上蝌
=蝌f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdr a j 1(q)r 1(q,j)当w是课堂讲的三种情况或被积函数有x2+y2+z2时用球面坐标计算简单。第1章
集 合 3曲线积分 3.1 平面情形
（1）准备 ?l:?x=x(t), ?y=y(t)(t?[a,b])ds=
；
?? ,f(x,y)ds= f(x(t),y(tt l a l:?l:y=y(x)(x [a,b])时用x作?í
x=x ?(x?[a,b])当??y=y(x)ì?l:x= x(y)(y [c,数l:?í
x=x(y)??? y=y(y?[c,d])3.2 空间情形
、第一类对弧长的ì
í，（2）代入b蝌。ì
当参数；时用d]y作参。ì??x=x(t)
（1）准备 l:? ? íy=y(t)(t [a,b? ])，ds=
；
z=z(t)蝌f(x,y,z)ds= f(x(t),y(t),z(tt l a y=y(x)??x=x ?(x?[a,b])作参数l:?x)x(ab[,；??z=z(x)í?y=y(] ?? z=z(x)l:?? x=x(y)?z=z(y(y?[c,d])时用y作参数
l:??)? y=y(y [c,d])z=z(y)ì?x=x(??x=x(z)l:? z)?(z?[c,d])作参数l:??í?? y=y(z)? y=y(z)(z [c,d])。z=z 间的特例。
篇五：高数下册复习知识点总结
下册复习知识点总结：
（2）代入b。ìì 当l:???í时用x当?? ìì??x=x(y)í í?? ；当 ìí 时用z平面是空高数 8空间解析几乎与向量代数
1.给定向量的坐标表达式，如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影。
2.向量的数量积、向量积的定义式与坐标式，掌握两个向量垂直和平行的条件。3.了解常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。空间曲线在坐标平面上的投影方程。
4.平面方程和直线方程及其求法。
5.平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6.点到直线以及点到平面的距离。
多元函数微分法及其应用
1.有关偏导数和全微分的求解方法，偏导要求求到二阶。
2.复合函数的链式法则，隐函数求导公式和方法。
3.空间曲线的切线和法平面方程，空间曲面的切平面与法线方程；函数沿着一条直线的方向导数与梯度。4.利用充分条件判断函数的极值问题；利用拉格朗日乘子法（即条件极值）分析实际问题或给定函数的最值问题。
重积分
1.二重积分直角坐标交换积分次序；选择合适的坐标系计算二重积分。
2.选择合适的坐标系计算三重积分。
3.利用二重积分计算曲面的面积；利用三重积分计算立体体积；
4.利用质心和转动惯量公式求解问题。
11曲面积分与曲线积分
1.两类曲线积分的计算与联系；
2.两类曲面积分的计算与联系；
3.格林公式和高斯公式的应用。
