勾股定理知识总结_勾股定理知识点全总结

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勾股定理知识总结

一．基础知识点：

1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）

要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，则c，C90，b，a）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

请你根据图形写出勾股定理的证明过程：

b

acab

ADCaDbcEbABbccacBbEaCa3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。证明：如果三角形的三边长：a、b、c，满足a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 22

2（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 6：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；

2n1,2n2n,2n2n1（n为正整数）mn,2mn,mn

（mn,m，n为正整数

（一）结合三角形：

1.已知ABC的三边a、b、c满足(ab)(bc)0，则ABC为

2.在ABC中，若a=（b+c）（b-c），则ABC是三角形，且90

3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为

1.已知x12xy25 与z10z25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三

角形的形状。

2.已知：在ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n1，b=2n，c=n1（n>1）试说明：C=90。

2b、3.若ABC的三边a、试判断ABCc满足条件abc33810a24b26c，的形状。

（二）、实际应用： 1.梯子滑动问题：

（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米

（2）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）

A.xyB.xyC.xyD.不能确定

（3）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米

2.直角边与斜边和斜边上的高的关系：

直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（）A.abb2B.a2b22h2C.变：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求证：（1）

1a



1b



1h

D.1a



1b



1h

abh

（2）abch





C

（3）以ab，h，ch为三边的三角形是直角三角形

3.爬行距离最短问题：

1.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是cm

2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？

3.如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（）

A

D

B

A.3aB.1



2aC.3aD.5a



A

Q

B

（三）方向问题：

1.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．

⑴ 此时轮船离开出发点多少km?

⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

（四）旋转问题：

1.如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，将ABH绕点A逆时针旋转到ACH处，若AH=3㎝，试求出H、H两点之间的距离。

2.如图所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90，D是BC上任一点，求证：BDCD

（五）折叠问题

1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是

2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

2AD。