正弦定理与余弦定理习题总结_正弦定理余弦定理例题

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正弦定理与余弦定理

ab

1.正弦定理：sinA=sinBc=sinC

=2R，其中R是三角形外接圆半径.b2c2a

22bc.2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=

3.S△ABC

=21absinC=21bcsinA=2

acsinB,S△=

p(pa)(pb)(pc)=pr(p=

abc

2,r为内切圆半

abc

径)=4R(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos

C2

CABAB

2=sin,sin2=cos2

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;7.解三角形常见的四种类型

ab

(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及sinA=sinB

c=sinC，可求出角C再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a=b+c-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinA=sinBac求出c，再由sinA=sinC

判断方法，如下表：，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，ab

求出C，而通过sinA=sinB

求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其

8.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用

例1．在ABC

中，已知a

针对练习：

1．（2010上海文数）18.若△，c，B600，求b及A；

ABC的三个内角满足 sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC

（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2．（2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定例2．（2009北京理）.在ABC中，角

a，则

A,B,C的对边分别为a,b,c,B



cos，A,b

5（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.针对练习：

3．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4.(1)求边长a；(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.4．（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若ab

2，sinCB，则A=（A）300（B）60（C）120（D）1500

5.(2010年天津)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝3bc，sinC＝2 B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°

专题二：正、余弦定理、三角函数与向量的综合应用

例3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若c针对练习：

k(kR).2,求k的值.1

56.（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，ABa，ACb，ab0，SABC，

a3,b5，则BAC A.． 30B ．150C．1500D

． 30或1500

7．（2009浙江理）在ABC中，角

A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos



ABAC3．（I）求ABC的面积；（II）若bc6，求a的值．

A2，8.设△ABC的三个内角分别为A、B、C，向量m＝3sinA，sinB)，n＝(cosB3cosA)，若

m·n ＝1＋cos(A＋B)，则C＝()

ππ2π5πA.B.C.D.63369.(2010年辽宁)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2a＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值． 专题三：三角形面积

例3．在ABC中，sinAcosA和ABC的面积。，2AC2，AB

3,求tanA的值

针对练习

10．(2010年安徽)△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，cosA＝1

3→→求AB·AC；(2)若c－b＝1，求a的值． 11．（2009湖南卷文）在锐角ABC中，BC

1,B2A,则AC

cosA的值等于，AC的取值范围为.12.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C

2csinA,求a＋b的值。

(Ⅰ)确定角C的大小：（Ⅱ）若c＝

7,且△ABC的面积为

3专题三：解三角形的实际应用

例4：（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点

30，的仰角分别为75，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km

000

1.41

42.449）针对练习

13.如图3，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．

图3