向量空间总结_空间向量总结

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向量空间总结

一、知识结构图

二、结构说明

⑴本章主要包括向量代数和空间解析几何的基本内容.向量代数是研究空间解析几何的基础，解析几何中，直线、平面方程的建立都是由向量的共线或垂直关系得到的.⑵理解和灵活运用向量的各种运算，是学好本章的基础.⑶空间直角坐标系的引入是联系本章两部分的纽带，有了坐标系，向量的表示和运算均化为向量坐标之间的代数运算，使向量的运算广泛应用于解决几何问题.⑷直线和平面方程是本章的重点.三、知识拓展

向量代数在初等几何中的应用

研究几何的代数方法除了常用的坐标方法外还有向量方法，有些几何概念用向量表示比较简单，下面举例说明向量方法在解决初等几何问题中的应用.1、三线共点问题

例1 证明三角形三条高线交于一点 证明：设的两条高线，交于M点，连AM.则有由于因为

所以有所以有

即

即

所以有即

即

从而三角形ABC的三条高线交于一点M.所以

2、垂直关系的证明

例2 空间四边形ABCD的对角线互相垂直的充分必要条件是对边的平方和相等.证：在空间四边形ABCD中设则有a+b+c+d=0.必要性：设则

即，则，即有

两式相加得所以

充分性：设

由于所以

所以

用向量的方法还可以证明许多几何定理，例如：三角形的余弦定理；平行四边形成为菱形的充分必要条件是对角线互相垂直；三角形的三条角平分线交于一点等等.三点共线问题也可用向量方法来研究.四、综合测试

1、填空题：

⑴设向量角为

时，m=________.当时，m=______，当时，m=______.当a与b夹

⑵设⑶点⑷与向量⑸过点

且与关于，则

______.面的对称点坐标为________；关于z轴对称点的坐标为_______.同时垂直的向量是_________.垂直的直线方程是_____________.⑹过一点

___________.且与直线

和直线都平行的平面方程为

⑺直线与平面的交点为__________,夹角为________.⑻曲线在平面上的投影方程为_____________.2、求通过直线且与

平行的平面方程.3、判断两直线与

和的位置关系？

是否可确定一个平面，若能，求出平面方程.4、设平面

与L垂直的直线方程.，直线试求在平面内过L和的交点且

5、直线间的最短距离..求与，与之

五、综合测试答案

1、⑴ ⑵4.⑶ ⑷

；；

.；；

.⑸ ⑹

⑺；夹角

⑻2、3、、5、