高等数学考研大总结之五 微分中值定理_高等数学定理证明总结

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第五章微分中值定理

一，罗尔（Rolle）中值定理费马（Fermat）引理：设fx在点x0取得极值，且f/x0存在则f/x0=0。解析：几何意义：曲线在极值点处的切线是平行于x轴的。

2罗尔（Rolle）中值定理：函数fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）并且在闭区间a,b的端点函数值相等，即：fafb，那么在开区间a,b内至少有一点使得f/0。

解析：⑴该定理是奠定一系列中值定理的基础。

⑵此定理反映了由区间端点函数值的情况来表现区间内导函数值的变化情况，给出了点的具体位置和计算方法（与Lagrange中值定理的区别）。

⑶几何意义：若连接曲线两端点的弦是水平的，则曲线上至少有一点的切线是水平的。⑷两个推论：①推论1：如果函数fx在区间a,b内的导数恒等于零，那么函数fx在区间a,b内是一个常数。②推论2：如果函数fx在区间a,b内处处有

。f/xg/x，则在此区间内fxgxC（常数）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

设函数fx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）那么在开区间a,b内至少有一点ab使等式fbfaf

该定理的其它几种表示形式：⑴f//ba成立。fbfa ba

AB解析：反映其几何意义：如果连接曲线yfx的弧上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点，使曲线在处的切线平行于弦AB。

⑵令aba,01则fbfaf/ababa,01。解析：由于的特定取值范围，所以在证明不等式时较常用，若令ax0,bx0h那么有：fx0hfx0f/x0hh,01。

⑶有限增量公式：如果用x表示ba则函数增量yfbfa，这时该定理变成yf/x。

解析：⑴从理论上与微分的区别：该公式准确的表明了函数增量与自变量增量（不要求其趋第1页

于零或比较小而仅要求其为有限增量）的关系，而微分只能近似的表示这一关系，并且要求

x比较小，而且当x0时dy表示y的误差才趋于零。但在实际应用中仍常用微分去

近似表示函数值的改变量。⑵类比与上式，则还可表示为yf三，柯西(Cauchy)中值定理

设两个函数fx和gx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）且g/x在a,b内每一点均不为零，则在a,b内至少存在一点使得

/

xxx,01。

fbfaf/,ab成立。gbgag/解析：⑴要求分子与分母中的是同一个值。⑵

类

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

为

fx0hfx0f/x0h

,01。

gx0hgx0g/x0h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理间的关系

xxfafb

CauchygLagrangeRolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定义：若fx在a,b上有直到n阶连续的导数，在开区间a,b上n1阶导数存在，则

对

于

任

意的x,x0a,b

有：

fxfx0

f

/

x0

1！

xx0

f

//

x0

2！

xx0

fnx0xx0nRnx其中

n！

fn1称为余项（与误差估计有关）。其中当x0xx0n1（介于x与x0之间）Rnx

n1！

取零时的泰勒(Taylor)公式称为麦克劳林（Maclaurin）公式。

解析：使复杂函数成为简单函数的有效方法。2 各种形式的泰勒(Taylor)公式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的泰勒

(Taylor)公式：

f/x0f//x0fnx02nn

Taylor:fxfxxxxxxxxx,xx000000

1！2！n！///n

Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnxn,x01！2！n！





⑵带有Lagrange余项的泰勒(Taylor)公式：

f/x0f//x0fnx0fn12nn1

Taylor:fxfxxxxxxxxx00000

n11！2！n！

///nn1

xxn1,01Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnf

n11！2！n！

⑶

带

有

Cauchy

余

项的泰

勒

(Taylor)

公

式

：

nfkx0

xx0kfxn1

xnm,xxm!fk！k0Taylor:0m

gkx0n!gn1k

xx0gx 

k！k0

nxx0xnn1fkx0k

xx0fCauchy:令gxx,m0则fxk！n！k0

⑷带有积分余项的泰勒(Taylor)公式：

n

fkx01xn1kn

Taylor:fxxxftxtdt0x0

k！n！k0

kn1n1f0kxnn1Maclaurin:fxxfxt1tdt0k！n！k0常见函数的麦克劳林（Maclaurin）展式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n1x2k1n1k12n

sinxx1x1x2n

2n12k13！5！！k1



2n2kn

x2x4nxkx2n

cosx11x1x2n

2n2k2！4！！k0



kn

xx2xnk1xn

e1x1xn

1！2！n！k！k0x





nkn

x2x3n1xk1xn

ln1xx1x1xn

23nkk1



1x



n

1212n1nnkk

1xxxx1Cxxn2！n！k1

⑵带有Langrange余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

sinx1

k1n

n

k1

x2k1ncosx

1x2n1,012k12n1！

x2kn1cosx

cosx11x2n2,01

2k2n2！k0

k

xkex

exn1,01

！k0k！n1x

n

ln1x1`

k1

n

k1

xkxn1n

1,x1,01n1kn11x

1x



kk

1Cx

k1

n

1n1xn1xn1,x1,01

n1！Taylor公式的应用

⑴求极限。⑵近似计算，误差估计。⑶与幂级数的关系。⑷不等式证明。六，罗比塔（L”Hospital）法则解决问题的情况：

00

。

解析：不是以上两种型的转化为以上型。例如：

“0”型，“”型，“00”型，“0”型，“1”型。需注意的问题：⑴只有未定式才能应用罗比塔（L”Hospital）法则，不是未定式，则不能用罗比塔（L”Hospital）法则，且分子与分母分别求导。

⑵只有

法则。

00

未定式才能直接应用罗比塔（L”Hospital）

00



未定

⑶求其他类型未定式的值时，就首先将其转化为

式，然后才能应用罗比塔（L”Hospital）法则。

⑷可以对未定式反复应用罗比塔（L”Hospital）法则，直到求出确定的极限值为止。⑸用对数方法求极限时还要将结果还原为指数形式。

⑹有些未定式若用罗比塔（L”Hospital）法则求不出它的值时，就改用其它方法计算。