高等数学考研知识点总结5_高等数学考研知识总结

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@第五讲 中值定理的证明技巧

一、考试要求

1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。

2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。

3、了解定积分中值定理。

二、内容提要

1、介值定理（根的存在性定理）

（1）介值定理

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值.（2）零点定理

设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c(a、b)，使得f(c)=02、罗尔定理

若函数f(x)满足：

（1）f(x)在a,b上连续（2）f(x)在(a,b)内可导（3）f(a)f(b)

则一定存在(a,b)使得f'()03、拉格朗日中值定理

若函数f(x)满足：

（1）f(x)在a,b上连续（2）f(x)在(a,b)内可导

则一定存在(a,b)，使得f(b)f(a)f'()(ba)

4、柯西中值定理

若函数f(x),g(x)满足:（1）在a,b上连续（2）在(a,b)内可导（3）g'(x)0

f(b)f(a)f'()g'()则至少有一点(a,b)使得g(b)g(a)

5、泰勒公式

x如果函数f(x)在含有0的某个开区间(a,b)内具有直到n1阶导数 则当x在(a,b)内时 f(x)可以表示为xx的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和，即

0f(x)f(x0)f(x0)(xx0)1f(x0)(xx0)2    1f(n)(x0)(xx0)nRn(x)2!n!

f(n1)()Rn(x)(xx0)n1x(n1)!其中(介于0与x之间)

在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：

1．展开的基点； 2．展开的阶数；

3．余项的形式．

其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．

而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．

6、积分中值定理

若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得

baf(x)dx=f(c)(b-a)

三、典型题型与例题

题型一、与连续函数相关的问题（证明存在使f()0或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)

2）间接法或辅助函数法

例

1、设f(x)在[a,b]上连续，ax1x2xnb,ci0(i1,2,,n)，证明存在[a,b]，使得

f()c1f(x1)c2f(x2)cnf(xn)

c1c2cn例

2、设ba0,f(x)在[a,b]上连续、单调递增，且f(x)0，证明存在(a,b)

使得

a2f(b)b2f(a)22f()

*例

3、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)0，证明存在(a,b)使得

af(x)dxf(x)dxb1bf(x)dx。2a

.例

4、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明存在(a,b)使得

例

5、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)

0xg()f(x)dxf()g(x)dx

ab有一个实根。例

6、设实数a1,a2,,an满足关系式a1ana2(1)n10，证明方程 32n1

a1coxsa2co3sxancos2(n1)x0，在(0,)内至少有一实根。

2例

7、（0234，6分）

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点[a,b]使得

题型

二、验证满足某中值定理

3x2,x12例

8、验证函数f(x)，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求

1,x1x满足定理的

baf(x)g(x)dxf()g(x)dx

ab题型

三、证明存在, 使f(n)()0(n=1,2,…)

方法：

1、用费马定理

2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理）

3、用泰勒公式

思路：可考虑函数f(n1)(x)

例

9、设f(x)在[a,b]上可导且f(a)f(b)0，证明至少存在一个

(a,b)使得f()0

例

10、设f(x)在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明存在一个(0,3)使得f()0

*例

11、设f(x)在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且

1f(x)lim0,21f(x)dxf(2)，证明存在(0,2)使得f()0 12xcosx2 题型

四、证明存在, 使G(,f(),f())0

方法：1）用罗尔定理（原函数法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分离）

思路：1）换为x

2）恒等变形，便于积分 3）积分或解微分方程

4）分离常数：F(x,f(x))C F(x,f(x))即为辅助函数(1)用罗尔定理 1)原函数法:

步骤：将换为x;

恒等变形，便于积分；

求原函数，取c=0； 移项，得F(x).例

12、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g(x)0(x(a,b))，求证

f(a)f()f()存在(a,b)使得

g()g(b)g()

例

13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且

f(1)kxe1xf(x)dx,k1

证明：在(0,1)内至少存在一点, 使 f()(11)f().1k0例

14、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)f(在[a,b]上连续，试证对(a,b),使得f()g()f()..ab)0, g(x)2*例

15、设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且f(x)dx0,xf(x)dx0.0011试证：(0,1),使得 f()(11)f()..2)常微分方程法:

适用: ,f()(,f())

步骤：x,f(x)(x,f(x))

解方程 G(x,f(x))c

令 F(x)G(x,f(x))

例

16、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)，证明存在(a,b)使得f()f()*例

17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数,必存在（0，1), 使得f()[f()]

1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理

例18、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求证存在(a,b)，使得

bf(b)af(a)f()f()

ba

例

19、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求证存在(a,b)，使得

bn1baf(a)anf(b)n1[nf()f()],n1

例20、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0ab)，求证存在(a,b)，b使得 f(b)f(a)lnf()

a例

21、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0ab)，求证存在(a,b)，f(b)f(a)f()使得

(a2abb2)2ba3

题型

5、含有f()(或更高阶导数)的介值问题

方法：1）原函数法（对f(x)仍用微分中值定理:罗尔定理，拉格朗日，柯 西中值定理）；

2）泰勒公式

例

22、设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个(0,1), 使

2f()f()

1

例

23、（012，8分）设f(x)在[a,a](a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1)写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。(2)证明在[a,a]上至少存在一个使得

af()3f(x)dx

a3a例

24、设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点，使得f()3..例

25、（103）设函数f(x)在闭区间[0, 3]上连续, 在开区间(0, 3)内二阶可导, 且f(0)=20f(x)dx= f(2)+ f(3).(I)证明存在  (0, 2), 使得f()= f(0);(II)证明存在  (0, 3), 使得 f()=0..题型

6、双介值问题F(,,)0

方法：1）同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理 2）用一次后再用一次中值定理

例

26、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，0ab，求证存在,(a,b)使f()得f()(ab)

2

例

27、（051，12分）已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1

证明：（1）存在(0,1)，使得f()1

（2）存在两个不同的点,(0,1)使得f()f()1题型

7、综合题

*例

29、（011，7分）

设函数f(x)在（-1,1）内具有二阶连续导数，且f(x)0，试证（1）对于(-1,1)内的任意x0,存在唯一的(x)(0,1)使得

f

f(x)f(0)x((x成立)x

1（2）lim(x)

x0

2例29、试证明若f(x)在[a,b]上存在二阶导数，且f(a)f(b)0，则存在4(a,b)使得f()f(b)f(a)2(ba)*例30、设e

aeaeblnalnb0 1

b1e13

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