D123一元微分总结_一元函数微分学总结

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一元微分总结

一 导数与微分导数

定义1 设函数yf(x)在点xx0的一个邻域有定义, 如果lim存在, 则称其为yf(x)在点xx0的导数.记作yf(x0).等价写法: limf(x)f(x0)xx0f(x0x)f(x0)x0x

xx0

方法 导数是一种特殊形式的极限.因此, 极限的各种结果适用.在一点可导与在一个区间内可导.导函数.方法 导函数是一个函数.因此, 可以研究它的各种性质.2 单侧导数

左导数与右导数.定理1 函数在一点可导的充分必要条件是: 它得左, 右导数存在且相等.3 可导与连续

定理2 如果函数在一点可导, 则它在该点连续.4 高阶导数

导函数的导数称为函数的二阶导数.5 微分

定义2 设函数yf(x)在点xx0的一个邻域有定义, 如果存在与x无关的数A, 使得limf(x0x)f(x0)Axx0x0, 则称yf(x)在点xx0可微, 而称Ax为函数在该点的微分.定理3

函数yf(x)在点xx0可微的充分必要条件是: 它在该点可导.且有Af(x0)

一阶微分形式不变性.二 计算导数与微分工具

12xsin,x01.导数定义: 求证：函数f(x)在点x0处可导，但导函数在该点不连x0,x0续.ex,x12.单侧导数: 求a,b, 使得函数y在点x1处可导.axb,x133.四则运算: 设yx4cosxsin, 求f(x)和f().4.高阶导数: 求证: 函数y设y2，求yx(n)2xx2满足yy10.设yxsinx, 求y32(n)..1 5.反函数: 设yarctanx, 求y.设yxsinlnx, 求6.复合函数: 设ylncose, 求

xdxdy

dydx与

dydx22.dydxx07.隐函数: 求由方程y52yx3x70所确定的函数y的导数xy12siny0所确定的函数y的二阶导数

.求由方程

dy22dx8.参数方程: 计算由参数方程xa(tsint),ya(1cost)所确定的函数yy(x)的.二阶导数.设函数yy(x)的极坐标方程为ra, 求

2dydx.9.微分: 设yln(1ex), 求dy.设函数yy(x)由方程eyxye0确定, 求dy.2 技巧

1.化积商为和差: 设y1xxx2, 求y.(x1)(x2)(x3)(x4)2.对数求导法: 求yxsinx(x0)的导数.求y 的导数.三 中值定理罗尔定理

证明中值等式(导函数的根).2 拉格朗日中值定理

1.证明中值等式.2.证明不等式.3.证明恒等式(用推论).方法 拉格朗日中值定理在函数及其导函数之间建立联系.从导函数出发, 可以研究函数.反之, 从函数出发也可以研究导函数.3 柯西中值定理

证明中值等式: 4 洛必达法则

1.商: limesinxx(1x)tan11cosx3xx0x.2.差：limx0122limxxln1..2xxx11cosxsinx3.幂指函数：limx0x.2 4.数列极限: limnn112n.limncose2n.nn4 5.抽象函数：设函数f(x)在点xa二次可导, 且f(a)0, 计算极限 11lim.xaf(x)f(a)(xa)f(a)已知lim6f(x)f(x)sin6x, 求.lim0232x0x0xxx5 泰勒公式

近似计算.四 函数的性质单调性判定

1.单调函数: 判定函数yx3的单调性.2.函数的单调区间: 确定函数y32x23x的单调区间.3.证明题: 设函数f(x)在区间[0,)上连续, 在(0,)内可导.且f(0)0,f(x)单调增加, 则函数F(x)f(x)x在区间(0,)内单调增加.2 凸凹性判定

1.凸函数: 判定函数ylnx的凸凹性.2.函数的凸区间: 确定函数yx36x1的凸凹区间.3.证明题: 设函数f(x)0二次可导, 且有f(x)f(x)[f(x)]2, 求证: 函数F(x)lnf(x)是下凸函数.3 拐点

1.二阶导数条件: 求曲线y3x的拐点.4 极值

1.必要条件: 费马定理, 驻点.2.一阶导数充分条件: 求函数y1(x2)值.422/3的极值.求函数y(x1)1的极

233.二阶导数充分条件: 求函数yx2x4的极值.4.证明题: 设函数yf(x)满足limf(x)1cosxx02, 则点x0是f(x)的极小值点.5 最值

1.闭区间候选点: 驻点, 不可导点, 端点.求函数y2x3x12x14在区间[3,4]上的最值.322.开区间用一阶导数充分条件: 求函数yxe的最小值.x 3 五 几何应用切线与法线

1.显函数: 求函数yxlnx在点(e,e)处的法线方程.2.隐函数: 求椭圆

3)处的切线方程.2ab3.参数方程: 已知椭圆的参数方程xacost,ybsint,0t2, 求椭圆在点

2x2y221上点(2,3t4处的切线方程.44.极坐标: 求曲线re在点处的切线的直角坐标方程.(变成参数方程.)

x25.在曲线上求点, 使得该点处的切线满足所给条件: 在椭圆

4y291上求点, 使得该点处的切线与直线2x3y1平行.求曲线yx3/2通过点(5,11)的切线方程.6.证明题: 曲线xya上任意一点处的切线在两坐标轴上的截距之和等于常数.2 曲率

1.显函数: 求抛物线yax2bxc上曲率的最大值.六 等式与不等式证明恒等式

1.拉格朗日中值定理的推论: 求证: 当1x1时, 有arcsinxarccosx

2.2 证明中值等式

1.罗尔定理: 设函数f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 且f(a)f(b)0, 求证: 存在(a,b), 使得f()f()0.(令F(x)ef(x).)2.拉格朗日中值定理: 设函数f(x)0在区间[a,b]上可导, 求证: 存在(a,b), 使得f(b)f().ln(ba)f(a)f()3.柯西中值定理: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 其中0ab, 则存在(a,b), 使得f(b)f(a)f()ln

bax.3 证明不等式

1.拉格朗日中值定理: 求证: 当x0时, 有2.单调性: 求证: 当x1时, 2x3x3.最值: 求证: 当x1时, 有ex1xln(1x)x.1x.11x.4

xy4.凸凹性: 求证: 当xy时, ee

xy2e2.七 方程的根存在性(下限)1.零点定理(函数): 求证: 方程x2x1在区间(0,1)内至少有一个根.2.罗尔定理(导函数): 设a12a22n在区间(0,1)内至少有一个根.设yf(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内有二阶导数, 且f(1)0, 令F(x)xf(x), 求证: 存在(0,1), 使得F()0.(先证存在an0, 求证: 方程a1a2xanxn10(0,1), 使得F()0.)2 唯一性(上限)1.单调性: 求证: 方程x3x10在区间(0,1)内恰有一个根.设函数yf(x)可导, 且满足f(x)f(x)0, 求证: 方程f(x)0至多有一个实根.3 讨论个数

1.作图: 研究方程lnxkx的根的个数.八 近似计算函数值

微分: f(x0x)f(x0)f(x0)x