材料科学基础 第一张总结_材料科学基础总结

材料科学基础 第一张总结由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“材料科学基础总结”。

其实放眼看去，咱们学过的几节课中让人稍感不适的无非就那14种布喇菲点阵的划分，晶带和没怎么理解的倒易点阵，针对这些本文将陆续展开叙述。

§1.1 晶体的基本特征

P2：晶体那五个什么基本特性翻翻看就好。

§1.2 晶体结构和点阵

P3：晶体由结构基元在空间呈不随时间变化的规则三维周期排列而形成。

点阵即等同点（所处环境相同）组成的阵列。

P4：初基矢量、初基单胞（P单胞，只含一个阵点）、复式初基单胞（含不止一个阵点）

初基单胞体积、面积、长度不管怎样划分都相等（每个单胞含一个阵点，而全部阵点占有的体积即为晶体的体积，故每个单胞体积均为1/N）

P5：单胞体积与阵点距离的公式看下应该就好，应该不会用得到

P6：点阵+结构基元=晶体结构

（结构基元含多种原子时，如NaCl，可将1个Na与1个Cl结合起来构成基元，而在分析其点阵类型时则可以仅将其中某一种原子作为该点阵的等同点，对结果不会产生影响，但却更易于观察。详例见课后题1-8中第二问，答案为体心点阵）

§1.3 对称性

P7：对称性就是通过平移、旋转、反映等一系列操作（不带反映的是第一类变换，本征运动；带反映的就是第二类，非本征）后还能和自身重合（课本上第二种可分割成等同部分那个说法并不实用，不推荐），这也是后面晶系的划分依据（按对称轴划分）

P8：对称变换的主动操作与被动操作随便看看就好。

P9：关于旋转，课本举的是由平行于xOy平面的向量绕z轴旋转一定角度后得到新向量的变换，即r′=Rr（这里要保证旋转轴轴向指向自己，而且记得是沿逆时针旋转），具体推导还请读者自行尝试，推荐将沿三坐标轴旋转的变换矩阵记下，尤其是z轴那个。（这里，课本上沿y轴旋转的那个矩阵给的不对，两个sinθ前面的符号刚好写反了，有兴趣可以带入下面那个冗繁的通用公式加以验证。）

P10-12：一般用到的旋转操作都是点对称操作，记住旋转、反映、反演、旋转反演的国际和熊氏符号都是咋写的。还有体会连续变换的等价操作，如两个四次旋转就是二次旋转，以及其他一些旋转变换的组合（例见课后题1-4，答案分别是{2[1-10]}和{2 [110]}，笔者不才，不会写上面那条横线，就加个负号凑活着看吧）

（1）恒等就不多解释了，变化矩阵就一单位阵。

（2）二次也比较简单，除了沿旋转轴方向的坐标不变外其余两个坐标都将取相反数。

（3）说下四次旋转，首先还是要记得逆时针去转，如果还是z轴为旋转轴，原x轴正向将转向y轴正向，而y轴正向则会落在x轴负向，z坐标不变。在写变化矩阵的时候可以按列来写，第一列代表原x轴变化后的指向，第二列代表原y轴变化后指向，以此类推，写起来应该会快很多。

（4）三次和六次原理相同，都可以按照四次旋转那样去写变化矩阵，但为了运算简便，这里引入了仿射坐标系，就是x，y轴夹角从90°变成了120°，这样绕c轴三次旋转，a1将落至a2指向，a2会落至-(a1+a2)指向，应用上法不难写出变化矩阵。六次方法相同，不做赘述。（补一句，P11中图1-11（b）中有一只手貌似画反了……）

P13：平面反映的对称性不解释。

P14：反演其实就是中心对称，变化后坐标全部取相反数。

P15-17：旋转反演，国际方案与熊夫利斯方案并不相同，前者是先旋转再反演，后者是先旋转再反映，但二者都是非同宇的（手性改变），而且二者间确有联系，如S3=（-6）5等（自己对着书慢慢转转看）。其实这东西觉得蛮少用到，先理解着记住吧。

§1.4 晶系和点阵几何

P18：上面那篇推导就想说明若晶体中含有旋转轴，那么其轴次只能是1,2,3,4,6（其实5次对称与8次对称是有的，但那些好像是什么准晶，不甚了解），推导关键就是BB′∥AA′且为其整数倍。不喜欢推倒的同学记住结论应该就可以了。

P19-23：有关晶系的划分：

简单来说三斜就是最不规则的平行六面体；

单斜、正交、四方、六方很相似，首先明确这几个都是立柱。单斜底面是一不规则平行四边形（P19的单斜图确实比较容易误导人，那是第二种定向，推荐读者按第一种定向画，正常人按上面说的画一个自己看着顺眼的，那应该就是了），正交底面是一矩形，四方底面是一正方形，六方底面是一夹角为120°的菱形（不是那个六棱柱，只看它的1/3，就那一小部分）；

剩下的立方和菱形则比较相似，立方不多说，菱形其实就是立方沿其一体对角线这么一拉~就ok了。这样分这七种晶系应该就好理解多了，点阵常数间的关系无须再作说明。

再看分类依据——旋转轴：

首先三斜只有恒等变换（其实根本就木有旋转轴嘛），单斜就一2次轴（平行四边形），立方有两个以上的2次轴（矩形，其实第三个2次轴可以由前面两个推出，也就是三个，不过课本上这么写的），四方有一个4次轴（正方形），立方是四个3次轴（体对角线），菱形则只有一个3次轴（立方沿某一体对角线拉~长）

P20上面单斜的那部分推导其实就想说如果底面上有2次轴，那么底面就应该和侧棱垂直，四方和六方因为都隐含有2次轴，所以，P23的推导过程不喜欢就可以直接pa掉啦。

回到立方晶系，3次轴必须有，4次轴则可以有（详见课上讲的那个怪异的图），因为只有那四个3次轴是推不出4次轴的，但若有正方体底面那三个4次轴则可以推出体对角线的四个3次轴（见课本P22）。不过3次轴也还是可以组成2次轴的，但这一般没啥用，或者用到立方的时候直接画成一正方体就好，毕竟反面典型咱怕是见不到，正方体用起来也会舒服点。

至于三方，课本都说不讨论了，咱也就不多说啥了，不过貌似菱形是三方的一种特殊情况。读者要问哪里特殊，我也说不好……

P24-29：到点阵了（深呼吸~）。布喇菲点阵就是向原来的7种晶系的初级单胞中加点构成复式初基单胞，使得既不破坏原来的对称性，又构成新点阵（看起来挺隐晦的，其实就是说加入新点后再按原来的对称轴那么一转，新加入的点转到的地方必须还得有点，比如立方某面的底心化，很显然就使三次轴混不下去了，那这就不对了。其实第一条要求大部分还是针对底心来说的，少部分则应用于六方这种结构。再说新点阵，这可以理解成你在某晶系中加入点后，在此时的点中发现了不再是原晶系单胞的影子，比如单斜侧面底心化，见课本P26图1-22（a），没看错的话图中新的单胞应该是三斜而不是单斜，所以这就构成了新点阵）。

为确保加点不破坏对称性，所以一般只会加在特殊位置，如底心化（单面心）、全面心化和体心化三种，特殊心化就随意了（啥？六方变菱形用得到？人家菱形本来就是一晶系，非得费劲变出来，何必呢~说到那几个特殊点的位置，至于读者有没去好好参透，反正我没有，也不觉得做作业有啥残疾嘛）。补一句，双面心化是不可以的，因为会导致新加入的面心点平移后会有找不到对应点的情况，详见课本P25上部分的说明。下面逐个分析晶系：

三斜只有三斜，你不管怎么加，新晶胞还是三斜，因为它太不对称了，想通过加点找到对称晶胞真的不是件易事。这样，三斜只有初基单胞1种。

单斜侧面底心不破坏原来的2次轴，前面说了，新点阵中看到了三斜晶胞，所以counter+1；底面底心化，观察课本会发现底面可以找到一个更小的平行四边形，即小一号的单斜晶胞，没新的，不算。体心化，按照课本上讲的，取底面平行四边形的一条边和对角线组成新的平行四边形，结果原来的体心跑到了新晶胞过底面对角线的侧面面心上，同单斜底心，不算。全面心化，平行四边形一条边与对角线一半组成的新晶胞，发现原来相邻两侧面面心变成新晶胞中两相对面面心，所以还是底心单斜，不算。数一数，单斜有初基和侧面底心2种。

正交底心化，不会破坏原来的2次轴，可以参照单斜底面底心化，你画两个相邻矩形，中间的两个阵点加上两个面心就得到一平行四边形，所以看到单斜的影子没？而且由于邻边两两垂直，所以三种底心实质上是一样的，只算1种。体心化，课本上没给图，可以借鉴后面四方的体心图，一样是三斜，counter+1（其实也可以像单斜体心一样变换成一种单斜侧面面心，不过不管怎么分都出非正交晶胞了不是）。全面心化，同样参照四方的图，新晶胞底面是一平行四边形，单斜体心看到没。虽说单斜体心同单斜底心，但不管怎样新点阵是有了。总结正交初基和三化都可以，计4种。

四方底心化，如果新点加在侧面上，就使得原来的4次轴消失了，这样不好；如果加在底面，参照正交底心解法，发现底面还是一正方形，所以同初基单胞，底心化也失败。体心化，课本上的新晶胞不管是啥，反正不是四方的，算一个（笔者觉得或许是三斜，但好像这里又有α=β，不解，待定，且等下次问下老师再做定夺）。全面心化，单胞底面是正方形，同四方体心，不算了。这样四方总共2种。

立方，前面说了，立方不管怎么底心化，三次轴都要完蛋，所以跳过。全面心化和体心化课本都给出图了，面心那个是菱形，但体心那个可得小心了，看起来像个立方，但人家后面都说这个算一种新的了，说明这肯定不是一立方。你试着将新晶胞那条比较朝向自己的体对角线画出来，会发现他和新晶胞的棱长相等，所以，这货是个菱形。

六方底心、体心、面心都不行，因为特殊的6次对称关系，使得晶胞侧面面心会转到体心位置，而体心则转到侧面面心位置，对称性破坏（可能听到这有人会问那干嘛不既体心化又全面心化啊？确实，两者兼有确实可以解决旋转对称的问题，但发现没，从一开始就不讨论两者共存的情况。但这不是疏忽，你自己画一正方体看看，如果体心面心都有点，那各条棱的中点也是必须有点的，这与双面心不行的原理相同，无法构成点阵）。所以六方只计初基1种。

菱形，很显然，底心化是会破坏3次轴的，毕竟是从立方体得到的嘛，立方都挺不住了，所以菱形也不行。说到体心化与全面心化，我在咱这册教材上看到了最无耻的错误：课本P27靠下六方和菱形那第一段这样讲，菱形晶系不可能有任何一种底心、体心和全面心化，因为在这些位置放进阵点都会破坏晶系原有的旋转对称性。一带而过得是那样自然，开始不懂得时候完全被唬住就从了，但是后来仔细想想，底心化是危险，总得考虑破坏对称性的问题，但体心与全面心化真的破坏菱形的三次轴了么？没有吧。所以，这里和P28的表1-2都错了，针对这点余永宁老师在课堂上给予了更正，体心与全面心化并不是因为破坏对称性而不可能，实际应该是同初基点阵，即你在新点阵中找到的只会是更小的菱形单胞。具体怎么找可以仿照立方晶系，本人试验成功，读者请自行尝试。即菱形只记初基1种。

这样，布喇菲点阵共有1+2+4+2+3+1+1=14种，联系上文看看课本的图，这下应该会稍微清楚些了吧。

P29-31：晶向指数其实就是咱学的矢量，就是括号变方了，逗号消失了，坐标都互质了，负号也全变成上面的横线了。再看晶向族，括号变尖，正负同向计为一族，再者就是基于原来晶系的对称性，有些长得比较像的晶向同族快乐地生活在一起了……

先说三斜，鉴于其特殊的1次对称性（真心觉得说0更合适），点阵的晶向都是唯一的，不能通过其他晶向变换得到。因为正反向计2种。

单斜有一个2次轴，这就表示三个数相对位置是固定的（只有像是四方的4次轴，立方的3次轴，六方的6次轴（四轴坐标系下）才会出现轴向互换，即数字可以倒换位置），垂直于旋转轴的两坐标则可以同时改变正负号，指向相反方向。这样加上正反向就会有4种晶向（课本讨论了单斜因为有一个拦腰的镜面，所以z轴坐标可以单独取反，但其实质还是和晶向正反向等同一样，谁叫人家矢量可以平移呢，不理解的自己动手画画）。

正交只有2次轴，不考虑坐标的易位，但坐标可以单独改变正负号，又如与反向等同，所以有，再考虑正反向共有8种晶向（课本说因为正交的三个2次轴使得坐标可以单独改变正负，但笔者认为还是说因为有镜面要好理解些）。

四方的4次轴使得u与v可以互换位置（正交轴转90°轴向会倒换，且轴向单位等长），镜面使得坐标可以单独改变正负号，所以基于正交，倒换uv使得晶向数加倍，16种。

立方的3次轴使得三个坐标随便换，加上镜面使得坐标可单独取反，基于正交得到晶向数为8*(3A3)=48种。（全排列）

最后还要考虑到出现1个0晶向数减半，两个可易位的坐标相同晶向数减半（立方诸如就只算1/6，即8种了）。

P32-33：镜面指数，就相当于晶面的法向向量，晶面方程若写成截距式，则三轴截距倒数的连比即该晶面的指数（三者须互质）。再说晶面族，就是把原来晶面的圆括号换成花括号，其讨论等同于晶向指数的分析，但计数时记得晶面法向的正反对应同一个面，只计1。比如计数立方晶系{110}晶面的个数，原来立方晶系48个晶向因正反减半，因两个1减半，再因由1个0减半，最后就还剩6种，详见课本P33图1-29。

P32下方的证明晶面三指数之比即为晶面法线在三坐标轴方向余弦之比，结论是不错，但我没觉得有啥太大的作用。P33的那个截过单胞的晶面个数的结论笔者倒是觉得蛮有趣，就记下吧。

P34：之前被人问过晶带到底是什么东西。其实晶带就是通过某一晶向轴的一组平面（在这里课本的定义说的是晶面两两相交得到的晶棱彼此平行时构成一组晶带，考虑到一组晶面指数对应一组平行平面，还是课本的定义较为严谨。不过晶带轴必然穿过阵点，若是将所有符合条件的晶面都平移到该点，就会得到前面的那种解释）。由于晶面都穿过晶带轴，所以晶带轴[uvw]与所有这些平面(hkl)的法向垂直，由此得到晶带定律，即向量相乘得hu+kv+lw=0。

P35：有关晶带轴的计算，一种是根据两给定平面求晶带轴方向指数，另一种是根据给定两晶向求其构成平面的晶面指数。具体解法都是先列出一组晶带方程，然后结果符合连比关系的结论再默默照搬过来。且不说后面三面共线与三面共线的条件该怎么算，怕是课本上给出的那个行列式等于0就有些人不记得该怎么解了。笔者建议先根据任意两条件求解后再带入第三者（？！）验证要来得更方便些（没事的时候可以翻看看下课后题1-15，你就明白了）。至于行列式算法，不会的强烈建议回去补习线代！

P36：由于六方晶系特殊的6次轴不方便用正交坐标系求解，而仿射坐标系又难以看出诸如晶面族这样彼此间的对称关系，所以在仿射坐标系的基础上将原来的-(a1+a2)赋为新轴a3。由于平面上的点若通过不平行的三个基矢描述必然会有无穷多解，所以又加入指数限制条件u+v+t=0，以保证结果的单值性。

P37：主要讲了仿射坐标系下一组方向指数[UVW]如何转换成四轴坐标系的方向指数[uvtw]，推导简单，结论果断记下（课后题1-12不解释）。

P38-39：四轴坐标系下晶面指数的算法与正交坐标系相同，还是截距倒数那一套。P38上面的证明就是在说这样得到的结果必满足h+k+i=0。这时候四次坐标轴讨论六方晶系的优越性就看出来了，(10-10)和(1-100)的等价性使得晶向族那一套又派上了用场。这里h，k，i可以随便换位置，但上面得到的限定条件使得三者单独改变正负号是不可以的，加上l与前面三个数无关，所以单独变号没问题，换位置就不行了。由此得晶向族含24个等价指向（(3A3)*2*2=24，l单独改变正负，向量正反向）。

P40：倒易点阵，恶心人到死的破东西，虽然有些人觉得不好理解，但或许这在解决某些问题时可能意外地简化运算。其实倒易关系实质上就是正点阵一组平行平面与倒易点阵中某一个的阵点的对应关系。倒易点阵中原点到某一点的向量方向即对应正点阵中某一组平面的法向，而其模则等于那组平面面间距的倒数。课本的定义该记的记，人家说的确实更准确些，但理解的时候这么考虑没错，毕竟这个是按照课本给出的倒易点阵的基本性质得出的结果。

从这页开始到下一页会有不少烦人的公式，但笔者认为除了（1-55）那个体积倒数关系的或许会有用外，其他的真心表示用处不大。这一节要说有啥考点，无非就在于由正点阵导出倒易点阵，更多也是求某一晶带的倒易面，但从题目来看套用（严谨点，套用，至少就个人而言）以上公式的好像不多。面间距倒数等同于倒易点阵中向量的模，求倒易点阵基矢夹角完全可以转化成求正点阵中对应晶面法向量的夹角（详情参照P46和课后题1-22）。

P41：前面说的理解了，所谓倒易点阵的基本性质也就该明白了，都是一码事。

P42：这里的由正点阵导出倒易点阵其实说的并不是特清楚，不过原理是一样的，求出倒易点阵的基矢，然后平移即可。以求晶带倒易点阵为例，先找出与给定晶带轴垂直的截距式平面，记下三截点坐标，再将该面平移使其过原点，可令某一截点平移至原点，其余两点进行相同操作，得到的这两点的坐标即对应倒易点阵基矢。后面的解法参照上文。

P43：那个表我表示不太了解怎么用，用处应该不会太大吧。下面说的那些就想表明计算正点阵面间距的时候必须用那组平行平面中靠得最近的两个，这样才会对应倒易点阵的基矢。给的例子还算好懂，其中后面说的哪些点会消失，其实就想提醒读者倒易点阵中有些点是要不得的（余永宁课堂上这一讲涉及到很多光的干涉的东西，比如阵点消失这件事就是一种消光效应。笔者自愧不能充分体悟干涉与倒易点阵之间的纠缠种种，在此就不再献丑了，见谅），同样，有些点也是需要细心的读者自己补上去的。

P44：主要还是体心、全面心与底心三者倒易点阵的消光现象，依据的原理则是（1-63）给出的公式（由倒易点阵基本性质1导出）。

体心点阵有心化的点的坐标是 [(1/2 1/2 1/2)]，从公式可知，倒易点的h+k+l必须等于偶数，否则倒易阵点将消失，这时将得到是全面心点阵。

面心点阵有心化的点的坐标是[(1/2 1/2 0)]、[(1/2 0 1/2)]和[(0 1/2 1/2)]，此时h、k和l必须同时为奇数或同时为偶数，得到的是体心点阵。

底心点阵有心化的阵点的坐标是[(1/2 1/2 0)]，此时h+k应等于偶数，得到的仍是底心点阵。

凡是不符合以上关系的点都将毁灭，由此得到上述新点阵，但晶胞大小已发生改变。

P45：说到晶带与倒易点阵之间的关系，前面已经涉及不少了，这里强调一下，正点阵中某一晶带对应于倒易点阵中一个过原点的倒易面（这里之所以说是过原点的，是因为分析时已将晶带轴定义为晶带法向量所构成平面的法向，亦即倒易点阵的法向，所以此时将二者的交点定义为倒易点阵的原点也就再合理不过了）。

此后还讲到了广义晶带，无非就是将过原点的倒易面上下平移得到的面列，一般用到的怕也只是N=0这一种情况了吧。

P46：这里就给出了一种求解晶带倒易面的解法，须熟练掌握！

P47-49：这一节陈冷和余永宁课堂上貌似都只是匆匆带过，所以应该没啥关键性的问题，据说记住那两个立方晶系的公式（1-71）（1-76）就好了，不是很麻烦。

PS：有些老师的课堂可能不会给拷课件，现在这边有余永宁老师第一章的课件，pdf版的。虽然讲的不一定完全相同，但总比啥都没有强，而且笔者真心觉得这课件弄得不错。为防止有心人泛滥外传，所以暂不挂于网上自由下载，有需要的（当然和对此文某些地方存有疑问的）可以向小弟留言或是发邮件（1121721142@qq.com）告知，有时间必将尽快回复。此外，余永宁老师上课的视频52v6上也有，大家闲了可以下来看看。