数值分析总结[优秀]_数值分析总结

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一：1.数值分析的特点：1）首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值上的稳定性。2）其次要对计算的结果进行误差估计，以确定其是否满足精度。3）还要考虑算法的运行效率即算法的运算量和存储量。

2.数值分析的误差种类：1）截断误差：模型的准确解与数值方法准确解之间的误差。

2）舍入误差：实数形式的原始数据与有限字长计算机数据间的误差。

3.算法的数值稳定性与病态问题：1）若某算法受初始误差或运算过程中的舍入误差影响较小，则称为数值稳定。2）若微小的初始误差都会对最终结果产生极大的影响，则称之为病态问题。

二：1.Runge现象及其解决方法

Runge现象即高次插值的振荡现象，指增加节点固然能使插值函数 p(x)与被插值函数f（x）在更多的地方相等，但在两点之间p(x)不一定能很好地近似f（x），有时候误差非常大。

解决方法：分段低次插值（将插值区间分成若干小区间，在小区间内用低次插值）

2.样条插值思想：插值函数p(x)在插值区间[a,b]上有二阶光滑度，在分段的小区间

[xk,xk+1]上是低次多项式，同时满足p(xi)=yi.三：理解逼近问题与拟合问题：1）逼近问题：函数f(x)在区间[a,b]具有一阶光滑度，求多项式p(x)是f(x)-p(x)在某衡量标准下最小的问题。2）拟合问题：从理论上讲y=f(x)是客观存在的，但在实际中，仅仅从一些离散的数据（xi,yi）(i=1,2…)是不可能求出f(x)的准确表达式，只能求出其近似表达式φ（x）。

插值问题与逼近问题的特点和区别：1）相同点：它们都是求某点值的算法。

2）不同点：A，被插值函数是未知的，而被逼近函数是已知的。B，插值函数在节点处与被插值函数相等。而逼近函数的值只要满足很好的均匀逼近即可。C，求p(x)的方法不同。

四：Romberg求积法和Gau求积法的基本思想：

1）复化求积公式精度较高，但需要事先确定步长，欠灵活性，在计算过程中将步长逐次减半得到一个新的序列，用此新序列逼近I的算法为Romberg求积法。

2）对插值型求积公式，若能选取适当的xk.Ak使其具有2n+1阶代数精度，则称此类求积公式为Gau型。

五.Runge-Kutta方法的基本思想：

借助于Taylor级数法的思想，将yn+1=yn+hy’(ξ)中的y’(ξ)（平均斜率）表示为f在若干点处值的线性组合，通过选择适当的系数使公式达到一定的阶。