小波变换快速算法及应用小结_分枝定界算法应用小结
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离散小波变换的快速算法
Mallat算法[经典算法] 在小波理论中,多分辨率分析是一个重要的组成部分。多分辨率分析是一种对信号的空间分解方法,分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近L2(R)空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。因此,对于一个能量有限信号,可以通过多分辨率分析的方法把其中的逼近信号和细节信号分离开,然后再根据需要逐一研究。多分辨率分析的概念是S.Mallat在构造正交小波基的时候提出的,并同时给出了著名的Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶变换中的地位,为小波分析的应用和发展起到了极大的推动作用。MALLAT算法的原理
在对信号进行分解时，该算法采用二分树结构对原始输入信号x(n)进行滤波和二抽取，得到
111第一级的离散平滑逼近和离散细节逼近和，再采用同样的结构对进行滤波和二抽取
22得到第二级的离散平滑逼近和离散细节逼近和，再依次进行下去从而得到各级的离散123细节逼近对，…，即各级的小波系数。重构信号时，只要将分解算法中的步骤反过来进行即可，但要注意，此时的滤波器与分解算法中的滤波器不一定是同一滤波器，并且要将二抽取装置换成二插入装置才行。
多孔算法
[小波变换快速算法及其硬件实现的研究毛建华]
多孔算法是由M.shen于1992年提出的一种利用Mallat算法结构计算小波变换的快速算法，因在低通滤波器h0()和高通滤波器h1()中插入适当数目的零点而得名。它适用于a=2的二分树结构，与Mallat算法的电路实现结构相似。先将Mallat算法的电路实现的基本支路作一下变形。令h0 和h1()的z变换为H0（z）与H1（z），下两条支路完全等价，只不过是将插值和二抽取的顺序调换一下罢了。图中其它的上下两条支路也为等效支路，可仿照上面的方法证明。这样，我们便可由Mallat算法的二分树电路结构得出多孔算法的电路级联图，原Mallat算法中的电路支路由相应的等效支路所取代，所以整个电路形式与Mallat算法非常相似。如果舍去最后的抽取环节们实际上相当于把所有点的小波变换全部计算出来。
基干FFT的小波快速算法
[小波变换快速算法及其硬件实现的研究毛建华]
Mallat算法是由法国科学家StephaneG.Mallat提出的计算小波分解与重构的快速算法，能大大降低小波分解与重构的计算量，因此在数字信号处理和数字通信领域中得到了广泛的应用。但是如果直接采用该算法计算信号的分解和重构，其运算量还是比较大。主要体现在信号长度较大时，与小波滤波器组作卷积和相关的乘加法的计算量很大，不利于信号的实时处理。故有必要对该算法作进一步的改进。众所周知，FFT是计算离散傅里叶变换(DFT)的一种快速算法，如能将它和Mallat算法结合在一起，势必会进一步降低小波分解和重构的计算量，事实证明这一想法是可行的。
基于FFT的小波变换快速算法是通过离散傅里叶变换建立起FFT和mallat算法之何的桥梁，从而将、FFT引入到小波变换中来，达到改小波变换快速算法及硬件实现的研究进Mallat算法的目的。
当信号长度较小时，FFT算法效率不及直接算法;随着长度的增加，特别是对于长度是2的幕次方的信号，FFT算法比直接算法更适用，能大大降低计算t。当信号是长序列信号时，小波分解与重构中，滤波器要补很多的零，这对信号的实时计算很不利，我们可以采用长序列快速相关卷积算法对信号进行分段后再运用FFT算法，提高运算速度。
基于算术傅里叶变换的小波变换快速算法
[小波变换快速算法及其硬件实现的研究毛建华]
算术傅里叶变换(AFT)是1988年由Tufts和Sadasiv提出的一种用Mobius反演公式计算连续函数傅里叶系数的方法.它具有乘法运算t仅为O(N)算法简单、并行性好的优点。根据DPT和连续函数傅里叶系数的关系，可以用AFT计算DFT。同直接算法相比，APT方法可以将DFT的计算时间减少90%，尤其是对于含有较大素因子，特别是其长度本身为素数的DFT，它的速度比传统的FFT更快.另一方面，Mallat算法的分解和重构算法也可由DFT来计算，从而将AFT与Mallat算法联系了起来，从而为小波变换快速算法开辟了新的途径。对于尺度
为j的快速分解算法步骤如下: 1)选定滤波器系数h(n)和g(n)，再根据FFT的性质2，用N点的AFT分别计算出H(k)和G(k)，分别取共扼，进而得到H*(k)，G*(k)。
2)在已知cj(n)的情况下，用N点的AFT求出其DFTCj(k)3)分别计算出H*(k)Cj(k)，G*(k)Cj(k)，即C’j(k)和D’j(k)4)用N点的AFT求出C’j+1(k)和D’j+1(k)IDFT，得到C’j+1(n)和D’j+1(n)IDFT，再分别对它 们作二抽取，就可求出Cj+1(n)和Dj+1(n)。在进行分解计算时，H(k)G(k)只要计算一次即可。重复步骤(2)一(4)可实现下一尺度小波分解，直到达到规定的尺度为止。不过要注意:尺度增加一个级别，信号长度减半。对于尺度为j+1的快速重构算法为: 1)对Cj+1(n)和Dj+1(n)进行二插值，得到C’j+1(n)和D’j+1(n);2)用N点的AFT分别求出h(n)、g(n)的DFTH(k)和G(k)3)用N点的AFT分别求出C’j+1(n)和D’j+1(n)的DFTC’j+1(k)和D’j+1(k);4)根据(17)式求出Cj(k)，再用N点的AFT进行IDFT，可求出cj(n)。
基于Hermite插值的小波变换模极大值重构信号快速算法
[基于Hermite插值的小波变换模极大值重构信号快速算法韩民，田岚，翟广涛，崔国辉] 信号在不同尺度上的小波变换模极大值包含了信号中的重要信息，因此研究如何由小波变 换模极大值重构信号是很有意义的。论文提出了一种基于Hermite插值多项式由二进小波变换模极大值重构信号的快速算法。数值试验表明，与S.Mallat提出的经典交替投影算法相比，该算法可以在保证重构质量的前提下简化计算过程，提高计算效率，计算所需时间与交替投影算法相比大大减少，是一种实用性较强的信号重构算法。
Hermite插值[11]方法是一种具有重节点的多项式插值方法，由于它要求在节点处满足相应的导数条件，因此也称为切触差值。由于小波系数模极大值点的导数为零，这与Hermite插值对节点的导数要求不谋而合，因此我们选用Hermite插值多项式作为改进的插值方法。
强奇异积分方程小波Petrov-Galerkin快速算法
[强奇异积分方程小波Petrov-Galerkin快速算法隆广庆]
通过构造具有高阶消失矩、小支集和半双正交性质的分片多尺度小波基底, 给出第2类强奇异积分方程的小波Petrov-Galerkin快速算法, 并证明该算法收敛阶达到最佳, 条件数有界, 计算复杂性几乎最佳。构造配置泛函的思想, 构造分片多项式空间Xn上2列具有半双正交性的小波基,其中一列具有高阶消失矩性质。
小波变换的应用
小波分析在图像压缩编码中的应用
[小波变换算法在数字图像处理中的应用支春强中国电子科技集团公司第二十八研究所，江苏南京 210007摘] 数字图像信号像素间一般都具有相关性，相邻之间、相邻列之间的相关性最强，其相关系数呈指规律衰减。图像中相关性的存在，是图像压缩的理论依据，使得能针对性地采用某种相关的手段去除冗余信息，达到压缩的目的。利用变换编码可以有效地消除像素间的相关性，从而获得较好的压缩效果。其基本原理就是将在时域描述的信号（如声音信号）或在空域描述的信号（如图像信号）经变换到正交向量空间（即变换域）中进行描述，在变换域的描述中各信号分量之间的相关性很小或互不相关，即能量得以集中。
小波变换进行图像重构实质上是相当于分别对图像数据的行和列做一维小波逆变换。对通过水平跟垂直滤波，离散小波将一级变换后图像的4个子图进行合成。对多级变换后的图像，则先对其信息集中的图进行重构，然后逐层进行。
小波分析在图像处理边缘检测中的应用
小波变换在车牌定位中的应用张国才，王召巴（中北大学信息与通信工程学院，山西太原030051）
由于传统的边缘检测方法检测到的边缘信息复杂，要想从中找准车牌的位置十分困难，而小波可以在不同的分辨率层次上对图像进行分割，在低分辨率层次上进行粗分割，由于计算量较小，适用于寻找目标的大致轮廓，在较高分辨率上实现精细分割，而且粗分割的结果对精细分割具有一定的指导作用，可以减少计算量和提高目标的定位精度。所以有的学者将小波变换用在了车牌区域的定位方面，利用小波的特点对车牌图像进行分析，发现小波分解后的细节分量中有能较好体现出车牌位置的信息，特别是水平低频、垂直高频分量能提供更准确的车牌位置信息。利用小波变换对车牌定位，在小波变换的分解图像中这里只研究其低频子图像，对低频子图像利用最大类间方差法进行二值化分割。
在军事工程方面的应用
[小波变换及其在轨道检测中的应用俞峰 戴月辉 ] 目前小波分析应用于轨道检测主要有: ①用小波时域局部特征检测突变信号(如检测钢
轨焊接部位缺陷、钢轨表面磨损等);②当传统的功率谱无法区分信号谱特征时,采用小波分 层细化分解,提取信号谱特征。
在语音合成方面的应用
[语音处理中自适应小波变换的应用 Application of Adaptive Wavelet Transformations in Speech Proceing徐静波,冉崇森XU Jing2bo , RAN Chong2sen(信息工程大学信息工程学院,河南郑州450002)] 对于含噪声语音信号,我们先分离小波变换中语音信号引起的模极大值点和噪声引起的模极 大值点,再根据语音信号引起的模极大值点来检测端点。一般地,原始信号的Lipschitz指数是正的,而白噪声的Lipschitz指数是负的。当尺度减少时,如果某些小波变换模极大值点的幅值急剧增加,则表明对应的奇异性具有负的Lipschitz指数,这些极大值点几乎被噪声控制。因为由噪声引起的模极大值点的平均密度与尺度成反比,所以,随着尺度的递增,至少有一半的模极大值点不能传递到较大尺度上。因此,那些不能从一个尺度上传递到较大尺度上的模极大值点,也是由噪声控制的。我们把噪声控制的模极大值点去掉,剩下的模极大值点就是由语音信号控制的。
在其他方面的应用
（1）小波分析在数字水印中的应用
使用小波域水印方法的优点与在JPEG 中使用小波是类似的，并且小波的多分辨率分析与人眼视觉特性是一致的，这对根据HVS 选择适当的水印嵌入位置和嵌入强度有很大的帮助。（2）小波分析在图像滤波中的应用
在小波变换域，可通过对小波系数进行切削、缩小幅度等非线性处理，以达到滤除噪声的目的。
（3）小波分析在地球物理勘探中的应用
提高物理勘探资料的信噪比和分辨率一直是物理勘探资料处理所追求的目标。在资料处理中所遇到的噪音主要有规则干扰和随机干扰两大类，利用小波变换时频两域都有局部化的特点，对信号进行多尺度分解同样可以抑制噪音。（4）医学检测方面的应用
小波能有效提取生理信号中的突变特征点，这在医学方面（如B超、CT、磁共振、心电图等）已有成熟的应用。在胃动力检测方面，利用小波包变换方法能很清除地分辨出人体胃运动的三相特征，这些在临床上都有重要的应用价值。
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