九年级数学第二章 小结与复习专题_第二章整式复习小结

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九年级数学第二章 小结与复习

【本讲教育信息】

一.教学内容：

第二章 小结与复习

【教学目标】

1.了解命题的概念，知道什么是命题，真命题、假命题、逆命题，能区分命题的题设和结论，会把一个命题写成“如果„„，那么„„”的形式。

2.了解定义、公理、定理的概念以及公理与定理的区别，能举例将所学过的定理、公理进行说明，能较准确地表达学过的定义、定理等。

3.了解证明的必要性、公理的方法，综合证明的格式，理解推理中要步步有据，会根据题意画出图形，写出已知、求证，并完成一个简单命题的证明。

4.通过举反例判定一个命题是假命题，能掌握用反证法证明的思想方法。

二.重点、难点： 1.教学重点：

理解证明的必要性；了解定义、命题的概念并会判断真假命题，理解本节所给出的公理及相关定理。2.教学难点：

对证明的逻辑推理过程要熟练掌握，并能较严密地写出证明过程。3.思想方法：

经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力；分析、解决问题时强调转化的思想、化难为易、转化的方式有代换转化，已知与未知的转化、特殊与一般的转化等。

三.主要内容：

（一）本章知识结构图

定义 综合法 真 公理 推 出 命题 定理 依据 方法 分析法 反证法 证明 假 举反例

（二）基本内容

1.理解推理证明的必要性 2.定义：

对一个概念的特征本质的描述，称为它的定义。

3.命题：

（1）定义：判断一件事情的句子，叫做命题。

（2）结构：每个命题都由条件和结论两部分组成。

命题一般可以写作“如果„„，那么„„”或“若„„，则„„”的形式。

（3）分类：命题包括真命题和假命题两类。4.公理、定理、证明：

人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，称为公理。

通过推理论证、判断其为真命题，称为定理。

推理的过程叫做证明。5.命题与逆命题：

两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。

其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

任何一个命题都有其逆命题，但一个真命题的逆命题不一定是真命题，所以，不是所有的定理都有其逆定理。6.证明的一般步骤：

（1）弄清题意，能正确画出图形。

（2）根据题意和图形，写出“已知”和“求证”。

（3）条理清晰地写出证明过程。

（4）检查表达过程是否正确、完善。

【典型例题】

例1.请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题。

（1）直角都相等。

（2）如果两个数中有一个数是正数，那么这两个数之和是正数。

（3）对角相等的平行四边形是矩形。

分析：写逆命题应先弄清命题的条件和结论。

解：（1）相等的角是直角。（假命题）

（2）如果两个数之和是正数，那么两个数中有一个数是正数。（真命题）

（3）矩形是对角相等的平行四边形。（假命题）

说明：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。

例2.有一次四人游泳比赛，比赛前，四名选手A、B、C、D进行预测性会谈，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最末名”，C说：“我不可能是第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最末的！”。经过比赛成绩揭晓，发现他们之中只有一位预测错误，请指出是哪一位选手？

分析：我们先将四人谈话内容列出表格，再来讨论。A B C D 第一名 √ √ 第二名 √ √ 第三名 √ √ 第四名 √

解：从表中可看出D没有估计错误。

如果D预测错误，那么自然另有一个选手预测错了，否则就不会出现最末名；如果C预测错误，则他在这次比赛中应得第一名或第四名，但在此情况下，第一名和第四名已分别由A和D占据；如果B预测错误，则他只能是第四名，这里D也成了预测者，但按条件，预测错误的只有一人。

因此预测错误的只能是A，他应是第二名或第三名。

这样，名次可能是：

（1）第一名：B，第二名：A，第三名：C，第四名：D；

（2）第一名：B，第二名：C，第三名：A，第四名：D。

这类题型主要是训练同学们的逻辑推理能力，让同学们看到逻辑推理在解决问题的价值，同时体验到用逻辑思维方法成功的快乐。

例3.有一矩形钢板ABNM，现加工成零件形状，如图，按规定∠ADE、∠BCE应分别是45°和55°，检验工人量得∠DEC＝95°，就非常肯定地判定这个零件不合格，你能说明这是为什么吗？

M N D F C E A B

分析：这也是一道训练逻辑思维的题目，零件是否合格、取决于角度之间是否相等。

即若∠ADE＋∠BCE＝∠DEC，则零件合格，否则零件不合格。

解：过E作EF∥AD ∴∠ADE＝∠FED 又AM∥BN，∴EF∥BC ∴∠FEC＝∠ECB ∴∠DEC∠ADE∠ECB55451009

5现量得∠DEC＝95°

∴这个零件不合格

oooo

例4.如图，已知AB∥CD，EF交CD于H，交AB于I，EG⊥AB，垂足为G，若∠GHE＝125°，求∠FEG的度数。

E A I G B C H D F

分析：略

解：∵AB∥CD，∠CHE＝125°（已知）

∴∠AIE＝∠CHE＝120°

又EG⊥AB（已知）

∴∠EGI＝90°（垂直定义）

又∠AIE是△EIG的一个外角

∴∠AIE＝∠FEG＋∠EGI ∴∠FEG∠AIE∠EGI1259035

例5.证明：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形。

已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC⊥BD。

求证：四边形EFGH是矩形。

D G C H F 1 2 A E B ooo

分析：要证四边形EFGH是矩形，先需证明它是平行四边形。

由于E、F、G、H分别是各边中点。

由三角形中位线定理易证EFGH是平行四边形，再根据AC⊥BD去证明EFGH中有一个角为直角即可。

证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点（已知）

∴EF//11AC，HG//AC（三角形中位线定理）22 ∴EF//HG（等量代换） ∴四边形EFGH是平行四边形

又∵AC⊥BD，EF∥AC ∴∠1＝90°

又EH∥BD（三角形中位线定理）

∴∠2＋∠1＝180°

即∠2＝90°

∴四边形EFGH是矩形

例6.先阅读第（1）问的题目及证明过程，然后完成（2）问的问题。

（1）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，E为CD中点。

求证：AE⊥BE

A D F E B C

证明：过点E作EF∥BC交AB于F ∵E是CD的中点

∴F是AB的中点

∴EF是梯形ABCD的中位线

∴EF1ADBC21

∵ABADBC

∴EF1AB22

∵EF是ABE的边AB上的中线 ∴ABE是直角三角形，从而AEBE3

4

（2）在第（1）题的证明过程中，第_________步（填写（1）题中证明步骤中的序号），我们用到了定理：“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。”

现在请你证明这个定理（要求写出已知、求证和证明）。

解：本题（1）中第步的理由是定理“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。”，证明如下：

已知：如图ABC中，CD是AB上的中线，且CD 求证：△ACB是直角三角形。

1AB。2 C 1 2 A B D

分析：略

证明：∵CD是AB边上的中线

∴ADBD ∵CD1AB 21AB，∴ADBDCD 2 ∴∠1∠A，∠2∠B

又∠1∠2∠A∠B180

∴∠1∠290

即∠ACB＝90°

∴△ACB是直角三角形

说明：这类阅读理解题近年来越来越常见，主要考查同学们阅读理解和自学能力，希望同学们加强这方面的训练。

【模拟试题】（答题时间：70分钟）一.选择题。

1.给出下列语句：

（1）连结AB并延长到C；

（2）对顶角不相等；

（3）求线段AB的长度；

（4）全等三角形的周长相等。

其中是命题的有（）A.仅有（4）B.（2）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）（3）（4）

2.下列命题中是真命题的是（）A.同位角相等

B.两条直线或者相交，或者平行 C.同旁内角相等，两直线平行

D.在同一平面内，过一点能作且只能作一条直线与已知直线垂直 3.下列命题正确的有（）

（1）若a//b，b//c，则a//c； oo（2）若∠1＝30°，∠2＝30°，则∠1＝∠2；

（3）若∠1∠390，∠2∠390，则∠1＝∠2；

（4）两条直线相交，有且只有一个交点。

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.“两直线相交成直角，称这两条直线互相垂直”是（）A.公理 B.定理 C.定义 D.命题 5.下列命题的逆命题是假命题的是（）A.平行四边形的对角线互相平分

B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C.若ab，则a2b2

D.矩形的对角线相等

6.如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，AB∥CD，则∠AEC的度数为（）

A B E C D oo

A.70° B.80° C.180°

D.90° 7.正方形具有而菱形没有的性质有（）A.对角线互相平分

B.每一条对角线平分一组对角 C.对角线相等 D.对边相等

8.已知：如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AD＝BC，AC与BD交于O，有下列结论：

（1）AC＝BD；（2）∠DBC＝∠CAD；

（3）AO＝BO；（4）AB∥CD。

其中正确的是（）

D C O A B

A.（1）（2）（3）

B.（2）（3）（4）C.（1）（2）（4）

D.（1）（2）（3）（4）

9.如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于E，给出三个论断：

（1）DE＝EF；（2）AE＝CE；（3）FC∥AB 以其中一个论断为结论，另两个论断为条件，可得出三个命题，其中正确的命题个数是（）

A D E F B C

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

10.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰在DC上，下面的结论：（1）AP⊥BP；（2）PD＝PC；（3）点P到直线AD、BC的距离相等。其中正确的结论是（）

A D P B C

A.（1）（2）（3）

B.（1）（3）C.仅（1）

D.仅（3）

二.填空题。

1.把命题“平行四边形两组对边分别相等”改写成“如果„„，那么„„”的形式是_____________________________。

2.命题“邻补角的平分线互相垂直”的条件是_____________________________，结论是_________________________________。3.给出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：________________ ____________________________________________。

4.如图，△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝70°，则∠BEC＝___________。

A E B C

5.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，ACE，则△CDE的周长为___________。

3，∠A30o，D为AB的中点，DE⊥AC于

B D C E A

6.已知正数a和b，有下列命题：

（1）若ab2，则ab1；

（2）如果ab3，则ab3； 2（3）如果ab6，则ab3。

根据以上三个命题所提供的规律写出一个命题：

若ab15，则ab___________，这个命题是__________命题（填“真”或“假）。

三.解答题。

1.举反例说明下列命题是假命题。

（1）两个无理数的和仍是无理数。

（2）互补的两个角一个是锐角，一个是钝角。

2.求证：等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端的距离相等。

3.如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

A D E B F C G

4.用反证法证明：一个三角形中，不能有两个角是直角。

5.A、B、C三人在一起争论一个问题时，A指责B说谎话，B指责C说谎话，C指责A和B都说谎话，现请你推测一下，到底谁说真话？谁说谎话？

6.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与菱形ABCD叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A逆时针旋转。

（1）当三角尺两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时［如图（1）］，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。A D F B E C 图（1）

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时［如图（2）］，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。

F A D B C E 图（2）

试题答案

一.选择题。

1.B 2.D

3.D

4.C

5.D 6.D 7.C

8.D

9.D

10.A 二.填空题。

1.如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边分别相等。2.条件：两个角是邻补角，结论：它们的平分线互相垂直。

3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。4.125° 5.33 2 6.15，真 2三.解答题。

1.（1）如：两个无理数分别为5和5，则550，是有理数。

（2）如：90o90o180o，但这两个角为直角。

2.已知：如图△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于点O。

求证：OB＝OC

A E D O B C 

提示：先证△BCE≌△CBD，得∠OBC＝∠OCB即可。

3.提示：△ADE≌△FAB（DE＝DC＝AB，∠AED＝∠B＝90°，∠DAE＝∠BFA，利用AD∥BC可得。）

4.已知：△ABC中

求证：△ABC中不能有两个直角

证明：假设△ABC中能有两个角是直角

不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＝180°

∴∠A＋∠B＋∠C＞180°

这与“三角形三内角和等于180°”相矛盾。

∴假设△ABC中能有两个角是直角不成立

∴△ABC中不能有两个直角 5.B说真话，A和C说谎话。6.（1）如图（1），BE＝CF

提示：证△ABE≌△ACF（ASA）（2）如图（2），BE＝CF 证明：∵△ABC、△ACD为等边三角形

∴AC＝AD，∠ACB＝∠ADC＝60°

∴∠ACE＝∠ADF＝120°

又∠CAD＝∠EAF＝60°

∴∠CAE＝∠DAF（等量减等量）

∴△ACE≌△ADF（ASA）

∴CE＝DF ∴CE＋BC＝DF＋CD 即BE＝CF