章末小结与测评_第1章章末小结与测评

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章末小结与测评

命题人：邵玉春 时间：2010.8.28

【 知识要点归纳】

【考纲考情点击】

★ 知考纲

（1）了解数列的概念和几种简单的表示法(列表法、图象法、通项公式),了解数列是种特殊函数.（2）理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和的公式.（3）能运用等差数列或等比数列及相关知识解决相应的实际问题.★ 明考情

数列是每年必考的内容之一，其中等差（比）数列的通项公式，求和公式和性质的应用是考查的热点与重点.纵观近几年的高考，该章在选择、填空、解答三种题型中均有体现，一般情况下，题目为一大、一小两题，分值在11%左右，主要考查：①等差（比）数列的公式、性质的应用；②一般数列的通项，前n项和公式的求解；③数列的知识与其他知识的综合应用.【热点专题例析】

专题一：数列的通项公式的求法

数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式，便可求出数列的任何一项及前n项和等，现将求数列的通项公式的几种常见类型及方法总结如下： 1．利用an与Sn的关系

利用an与Sn的关系求an有两种形式：

一种是已知S的关系式，可由公式aS1(n1)n与nn SnS n1(n2)直接求出通项an，但要注意

n1与n2两种情况能否统一；

另一种是已知Sn与an的关系式，记为f(an,Sn)0，求它的通项公式an.例

1、已知数列{an}中，an0，Sn是数列{an}的前n项和，且a1na2Sn，求an.n2．累加法

例

2、已知数列{an}中，a11，且an1an3nn，求数列{an}的通项公式.3．累乘法 对于由形如

an1anf(n)型的递推公式求通项公式.（1）当f(n)为常数时，即

an1an，此时数列为等比数列，q（其中q是不为0的常数）

ana1qn1.（2）当f(n)为n的函数时，用累乘法.an1ananan1由f(n)，得n2时，f(n1)，an

（3）已知a1a,an1anf(n)（其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数），求通项an.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.aan12a1f(n1)f(1)a1.an1an2a1an22例

3、设{an}是首项为1的正项数列，且(n1)an1nanan1an0(n1,2,3)，求通项公

式an.4．构造法

2．拆项求和法

如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，形如，已知a1且an1panq(p、q为常数)的形式均可用构造等比数列法，即

则该数列的前n项和可考虑利用拆项求解.an1xp(anx),{anx}为等比数列，或an2an1p(an1an),{an1an}为等比数列.例

6、求数列1,1112,24,318,,(n12n),的前n项和.例

4、若数列{an}满足a11，an12an1，求an.专题二：数列求和的方法

数列的求和是数列运算中的重要内容，对于等差数列和等比数列可直接利用公式计算，对于

有具体特征的非等差、等比数列可转化为等差数列或等比数列的前n项和的求法.常用的求和方3．例序相加法

法有公式法、拆项法、裂项法、倒序相加法、错位相减法等，解题时要认真研究数列通项的特点，如要在求和的结构中，“每两项”的和为同一常数可以用倒序相加法求解.从而确定恰当的求和方法.1．公式法

例

7、设f(x)2，类比推导等差数列前n项和公式的方法，如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数22x列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解.例

5、设{aSf(2008f)(2007f)f(0)f(1)f(2nn}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S77,S1575,Tn为数列{n}的前n项和，求T n.求4．裂项相消法

（1）对于裂项后明显有能够相消项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.常见的拆项公式有：

5．错位相减法

若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为

{anbn}，当求该数列前n项和时，常常采用将数列{anbn}的前n项和的各项乘以公比，并向后借

一项与数列{anbn}的前n项和的同项对应相减，即可转为特征数列的求和，这种求和的方法称为错位相减法.例

9、求和Sn

（2）裂项原则：前边裂几项,后边就裂几项，裂项不论为多少，只要能发现被消去项的规律就行.（3）消项后的结果规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后面就剩倒数第几项.例

8、已知数列{an}：1,1a2a23a3nan.112123,1,,1123n,求它的前n项和.