数学_学年论文_毕业论文_行列式解法小结_数学行列式计算论文

数学_学年论文_毕业论文_行列式解法小结由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学行列式计算论文”。

行列式的解法小结

摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了这几种方法的使用条件。

关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式

行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。对于一般n阶行列式，特别是当n较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。因此，研究一般n阶行列式的计算方法是十分必要的。由于不存在计算n阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计算方法，基本上可解决一般n阶行列式的计算问题。升阶法

在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展 开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上 添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种 计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。

ca21例1计算n阶行列式 Dna1a2ana2ana1an1a1ana1c00a2a1ana1ca2a2an22can，其中c0

10a1ca21a2a1ana1a2a1a2ana2a2an0c000 ca1an解 Dn00ca2a2ana222can将最后一个行列式的第j列的c1aj1倍加到第一列（j2,3n1)，就可以

1n变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+cai12i,c,c,,c

n1n故

Dncnc

ai12i

1x1x21x1n2x1n1x2x22nx21xn2xn例2 计算n阶行列式Dnxnn

n2n2x2xn解

好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令

1x1x121x22x21xn2xn1yy2 yn2yn1yn

Dnx1n2x1n1x1nn2n2x2xnn1n1x2xnnx2nxn

按第n1列展开，则得到一个关于y的多项式，yn1的系数为(1)n1nDnDn。另一方面Dn11jin(xixj)*(yxi)

i1n显然，Dn1中yn1的系数为所以Dnxi*i1n1jin(xixj)(x1x2xn)

1jin(xixj)

2利用递推关系法

所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。

abacbbacc例3计算n阶行列式 Dn，其中bc,bc0

解 将Dn的第一行视为(ac)c,0c,0c,据行列式的性质，得

accbacbbaac00bacbbacccbacbba

Dn0c0c

Dn(ac)Dn1c(ab)n

1(1)

于b与c的对称性，不难得到Dn(ab)Dn1b(ac)n1

(2)联立（1），(2）解之，得Dn(bc)1b(ac)nc(ab)n

ab1000abab1000ab000000000abab例4计算n阶行列式 Dnab

ab

10ab0000100 ababab解将Dn按第一行展开，得DnabDn1ab00ab于是得到一个递推关系式Dn(ab)Dn1abDn2，变形得DnbDn1a(Dn1bDn1)

易知 DnbDn1a2(Dn2bDn3)a3(Dn3bDn4)

an2(D2bD1)an2(ab)2abb(ab)an

所以DnanbDn1，据此关系式在递推，有

Dnanb(an1bDn2)anan1bb2Dn2



anan1ba2bn2bn1D1anan1babn1bn

如果我们将Dn的第一列元素看作ab,1+0,……0+0,按第一列坼成两个行 列式的和，那么可直接得到递推关系式DnanbDn1，同样可得Dn的值。化三角形法

此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号

ababbbabba1an1b00b0b0abbb1bab11例5计算N阶行列式Dn

解 Dnan1b

ab

a(n1)b(ab)n1利用范德蒙（Vandermonde）行列式法

著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。

1x1(x11)1x2(x21)2x2(x21)1xn(xn1)2xn(xn1)

例6 计算n阶行列式Dnx12(x11)n1n1x1n1(x11)x2(x21)xn(xn1)

解 将第一行可视为x1(x11),x2(x21),xn(xn1)，再由行列式的性

x1质，得Dnx2x2(x21)xnxn(xn1)

x1(x11)n1n1x1n1(x11)x2(x21)xn(xn1)4

x11

x21x2(x21)xn1xn(xn1)n1xn(xn1)x1(x11)

n1x1n1(x11)x2(x21)把第一个行列式从第一行起依次将i行加到i1行；第二个行列式的第i列提取xi1(i1,2,3n),得

x1Dnx12x1nx2xn(xi1)i1n1x1(x11)1x2(x21)1xn(xn1) 22x2xnnnx2xnn1n1x1n1(x11)x2(x21)xn(xn1)nn=xi(xi1)*(xixj)

i1i11jin5 利用乘法定理法

在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。

1a1b1例7计算n阶行列式Dn1a1b21b11001a1bn10 01a2b11a2b21a2bn1anb11anb21anbn

1a1a2an000000

解 Dn11b2bn00所以，当n2时，Dn0；

当n2时，D2(a2a1)(b2b1)当n1时，D11a1b1 利用拉普拉斯（Laplace）定理法

拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。

aabbabaabbabaabbaban1b例8 计算2n阶行列式D2nn

ab解 D2n(1)12n12nabba2n1

ab

(1)12(n1)12(n1)abba2n2

 abba*abba(a2b2)n 提取公因式法

若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“a,a,,a型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。

xa1例9计算N阶行列式 Dna2a26

anan

a1a1xa2xan

n解 该行列式各行元素之和都等于 xai，属于“全和型”，所以

i11Dn(xai)i1na2xa2a2ananxan(xai)i1n1a200x0an0x11

xn1(xai)

i1n总结:计算行列式的方法很多,除了以上常见的方法外还有一些特殊的方法,如n阶轮换行列式的初等计算方法、极限法、导数法、积分法等。对于一个给定的行列式可以有多种方法求解，这是则要求我们注意方法的灵活性，要在众多方法中选取一种最简便的方法。

毕业论文小结

刀豆文库小编为你整合推荐4篇毕业论文小结，也许这些就是您需要的文章，但愿刀豆文库能带给您一些学习、工作上的帮助。......

毕业论文小结

2012届汉语言文学专业（师范方向）毕业论文小结毕业论文小结2011年的国庆，我开始了我的毕业论文工作，时至今日，论文基本完成。从最开始的迷茫，到慢慢的进入状态，再到对思路逐渐的清晰......

毕业论文小结

毕业论文小结论文常用来指进行各个学术领域的研究和描述学术研究成果的文章，下面是小编收集整理的毕业论文小结，希望对您有所帮助!毕业论文小结(一)20**年3月，我开始了我的毕业......

毕业论文小结

毕业论文小结2013年3月下旬，我开始了我的毕业论文工作，时至今日，论文基本完成。从最初的茫然，到慢慢的进入状态，再到对思路逐渐的清晰，整个写作过程难以用语言来表达。历经了几个......

毕业论文小结

毕业论文小结刚开始听说要开始写毕业论文了，我心情很复杂。开心的是我们双学位终于要毕业了，难过的是不知道怎么写毕业论文。毕业论文的写作过程，相信对所有大四毕业生来说，都是......