关于定积分、曲线积分与二重积分的简单总结_定积分的计算方法总结

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关于定积分、曲线积分与二重积分的简单总结

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（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）

摘要：微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.在此主要讨论和简单总结一些有关定积分、曲线积分与二重积分的问题.关键词：定积分 曲线积分 二重积分

英文部分

引言：

微积分是一套关于变化率的理论.积分学包括求积分运算，为定义和计算面积、体积提供了一套通用的方法.通常积分计算问题都涉及到天文、力学、几何学等.这里主要通过有关定积分、曲线积分与二重积分的一些实例来对这些知识作一个回顾性总结.1、定积分

1(12333n3);4nn1、1利用定积分求极限：lim

解：lim1333(123n)nn4

112n=lim()3()3()3 nnnnn

i1=lim()3 nni1nn

设f(x)x3，则f(x)在[0,1]上连续且可积.取xi1i,i为区间nn

i1ixi1,xi,的右端点,i=1,2…,n.所以上式为函数f(x)x3在区间[0,1]nn

上的一个积分的极限，从而有

111411333lim4(12n)xdxx.0nn40

4回顾分析：由定积分的定义知，若f(x)在[a,b]上可积，则可对[a,b]用某种特定的方法，并可取特殊的点，此时所得积分的极限就是f(x)在[a,b]上的定积分，因此本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.定积分在物理中的某些应用1、2 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解：考虑建立直角坐标系，这里B(0,5),C(20,3).1则BC的方程为：x+20y-50=0.即y=5-x.10

由于在相同深度处水的静压力相同gx,故当x很小时，闸门上从深度x到x+x 这一狭条A上受的静压力为

1x)xxgdx.10

20202011pdp2(5x)xxgdx(10x2x3)dx 000105

=14373.33(kN).1、3 设有半径为r的半圆形导线，均匀带点电荷密度为，在圆心处有一单位E电荷，试求它们之间作用力的大小.解：同样考虑坐标，取所对应的一段导线，电荷电量为drd.，它圆心处电荷E在垂直方向上的引力为

srsinksFksin rr2pdp2yxdxxg2(5

则导线与电荷作用力为

0ksin2k rr

回顾分析：据以上例题可知，在解决积分实际问题中，确定积分区域是解决问题的关键，另外对于定积分我们还应注意以下几点：

⑴周期函数的定积分，其积分上下限可任意改变，只要积分区间的长度始终等于周期，则定积分的值不变。

⑵定积分存在的两个条件：

①积分区间有限;②被积函数有界

⑶对于定积分f(x)可积，则加上绝对值也一定可积，若其绝对值可积，但去掉绝对值却不一定可积.2、曲线积分2、1第一型曲线积分2、1、1证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),t[,]上连续,则存在点((x0,y0)L使得f(x,y)dsf(x0,y0)L l

其中L为L的弧长 证明：因为f(x,y)dsf(x(t),y(t))x(t)2y(t)2dt l

记F(t)f(x(t),y(t)),G(t)x(t)2y(t)2

由已知条件知F(t)在,上连续,G(t)在,上连续且非负（不变号），则根据推广的定积分第一中值定理知，存在t0,,对应点(x0,y0)(x(t0),y(t0)), 使f(x,y)dsf(x(t0),y(t0))lx(t)2y(t)2dtf(x0,y0)L

回顾分析:运用推广的定积分第一中值定理是证明此题的关键.2、2第二型曲线积分

2.2.1求y2dxz2dyx2dz，其中，L是维维安尼曲线x2y2z2a2，L

x2y2ax(z0,a0)若从轴正向看去，L是沿逆时针方向进行的.解：选择好参数方程确定好积分区域正是解此题的关键.将 x2y2z2a2表示为 2a2，x2y2ax

表示为r2ax 或 rax

令 xacos2 则 yasincos,zacos2asin，于是L:xacos2,yasincos,zacos2



2

2,所以

Ly2dxz2dyx2dz



2[a2sin2cos2(2acossin)a2(1cos2)a(cos22

sin)acosacossin(1cos)]d

224212

2a32(sin2cos2sin4)d0

3351a3[(,)(,)]2222



4a

3通过以上实例分析可知，曲线积分有着较为广泛和重要的作用.因此对于曲线积分，我们应注意以下几点：

⑴第一型曲线积分：第一型曲线积分上限、一定要大于积分下限； ⑵第二型曲线积分：

①曲线和有方向，方向改变后第二型曲线积分二值就要反向，即变号；

②第二型曲线积分的计算，在化为定积分时，积分上限可以小于积分下限，起点即为下限，终点即为上限.⑶曲线积分是定积分的推广.⑷对ds,即表示L的弧长，即f(x,y)=1.l

3.二重积分3、1计算(xy)2d，其中D0,10,1.，D

解：应用定理即：设f(x,y)在矩形区域Da,bc,d.上可积，且对每个xa,b积分d

cf(x,y)dy存在，则累次积分

bdbadxf(x,y)dy也存在，且cdf(x,y)ddxDacf(x,y)dy 有f(x,y)ddx(xy)2dx

D00117 6

回顾分析：对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集D{(x,y)y1(x)yy2(x),axb}为x型区域

称平面点集D{(x,y)x1(y)xx2(y),cyd}为y型区域.3、2关于x型区域的实例3、2、1计算二重积分d，其中D为由直线y=2x,x=2y及x+y=3所围的三角

D

形区域.解：把D看作x型区域时，相应的2x,0x1x ,y1(x), y2(x)23x,1x2

dxdddxxdydxxdy DD1D2021212x23x

12xx(2x)dx(3x)dx0122

333x23xx241240123、2、2关于x,y混合型区域的实例

求由坐标平面x=2,y=3,x+y+z=4所围二角柱体的体积.解：

Vzdxdy(4xy)dxdy

DD

dx(4xy)dydx0011324x0(4xy)dy

55

6回顾分析：

对于二重积分应注意以下几点：

⑴ 二重积分化为累次积分，积分上限一定要大于积分下限.⑵ 二重积分的许多性质与定积分的几乎完全相同.⑶ n(n2)重积分的计算都是转化为定积分的计算.⑷ 掌握型区域和型区域的二重积分的计算是计算一般平面上二重积分的基础.⑸ 解决了x型区域或y型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决.参考文献：

【1】 华东师范大学数学系编.数学分析（上、下）[M].第三版.北京:高等教育出版社.2001

【1】 林益等编数学分析习题详解（上、下）[M].武汉 华中科技大学出版社.2005