数学物理方程小结_数学物理方程总结

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数学物理方程小结

第七章

数学物理定解问题

数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。

§7.1数学物理方程的导出

一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。

（一）三类典型的数学物理方程

2u2三维:2auf(r,t)t22uu2一维:2af(x,t)2（1）波动方程：

tx当无外力时:f0 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.）

u2三维:auf(r,t)t2uu2一维:af(x.t)2（2）输运方程：

tx无外源时:f0此方程 适用于热传导问题、扩散问题。

拉氏方程:u0（3）Laplace 方程：

泊松方程:uf(r.t)

f0时泊松方程退化拉程氏.方稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u在电荷密度为零处也满足Laplace 方程。§7.2定解条件

定解条件包含初始条件与边界条件。

（1）初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u（x,o）,而Laplace 方程没有初始条件。

（2）三类边界条件

第一类边界条件： u(r ,t)|Σ = f

（1）第二类边界条件： u n|Σ = f

（2）第三类边界条件：(u+Hun)|Σ= f

（3）

其中H为常数.7.3 二阶线性偏微分方程分类

2a12a11a220,双曲型,2a11a220,椭圆型,判别式 a122a12a11a220,抛物型,波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.7.4 达朗贝尔公式

对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为

22u2ua022txux,0xutx,0x

11xat解为:ux,txatxatdxat22a对半无界问题作延拓处理: 对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.第八章 分离变量法

8.1 分离变量法

主要步骤:

1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的.•2.分离变量 u(x,t)=X(x)T(t)（1）

[以后对三维问题也是如此] •3.将（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程,(称为本征方程)而λ为本征值.•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.•6.再由初始条件确定系数.一维波动方程在第一类齐次边界条件下的natnatnx通解:ux,tancosbnsin,1sinllln1nx代入边入边界:ux,0ansinx,2ln12nansind,3l0l2n同样:bnsind,4na0l一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:

ll

natnatnxux.tA0B0tAncosBnsin,5cosllln1 11A0d,B0d.6l0l02n2nAncosd,Bncosd.7l0lna0lllll

一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解: ux,tcnen1lnatl2nxsin,8l 2ncnsind,9l0l一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解: ux,tcnen0lnatl2nxcos,10ll12nc0d,cncosd,11

l0l0l

对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.8.2 非齐次边界条件的处理

常用方法有 1)直线法 : 对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t).htgtx,可把边界条件化为齐次,令

vx,tux,tgtL但一般情况下方程变为非齐次.•只有当g,h为常数时,方程才不变.2)特解法

•把 u化为两部分,令 u=v+w 使v满足齐次边界条件与齐次方程,而使w满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.• 例题

求解下列定解问题

Utt－a2 Uxx

= 0

U|x=0

=0, U|x=L= ASinωt •

U|t=0

= 0 , Ut∣t=0 = 0 •(其中A、ω为常数,0＜x＜L , 0＜ t）

•解：令 u=v+w ,使w满足波动方程与非齐次边界条件, •得出

wx,tAsinxasint

sinla第九章

二阶常微分方程的级数解法

本征值问题

一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分

离变量结果.1.拉普拉斯方程在球坐标下的通解:

1ur,,AlrlBLl1Yim,,1

rl,m其中Y

lm

为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件.在轴

对

称时(1)式退化为

Blur,AlrllPcos,2 1lrl02.拉普拉斯方程在柱坐标下: 6 u,,zRrZz.1acosmbsinm,m2m0,1,2222dR1dRm''ZZ0.3.22R0.4dd0,3的解为:ZzABz;4式解为:REFln,m0,今x,4式为:x2d2RdR22dx2xdxxmR0.55为m阶Beel方程..(5)式其解为m阶Beel函数, 解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时, μ

ur,,RrY,

其中Y为球函数,R为球贝塞尔函数.在柱

坐

标

下

: u,,zRrZz.1acosmbsinm,m2m0,1,22Z''2Z0.3.d2Rd1dRdk22m222R0.4令k22;今x,4式为:x2d2RdR22dx2xdxxmR0.5(5)式其解为m阶Beel函数,二、常微分方程的级数解法

.1.掌握常点邻域的级数解法.2.掌握正则奇点邻域的级数解法.3.知道无穷级数退化为多项式的方法.三.知道Sturm-Livouville本征值问题的共同性质

•当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0), Sturm-Livouville方程共同性质为: •1)当k(x),k’(x)和q(x)连续且x=a和x=b最多为一阶极点时,存在无限

123k多个本征值及对应的本征函数:

y1x,y2x,y3xykx

2)所有本征值λn≥03)对应于不同本征值的本征函数带权正交yxyxxdx0,nm4)本征函数族构成完备系mnabfxn1fnynx

第十章 球函数

1.轴对称的球函数

当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z轴这时物理量u就与φ无关,m=0.此时球函数Y(θ,φ)就为L阶勒让德多项式.即Y=Pl(cosθ)1)勒让德多项式

1.勒让德多项式级数形式: 8 Plxll1或222l2n!l2n1x.1 ln!2ln!l2n!n0n2.勒让德多项式微分形式:

l1dl2Px1.2 lxll2l!dx3.前几项为: P0(x)= 1, P1(x)=x=cosθ, •P2(x)=(3x-1)/2, ….•一般勒让德多项式的幂次取决L •当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项.对特殊点x=1,0.2Pl11,Plx1Plx,l2n1！P2n100,P2n01,2n！n•4.勒让德多项式正交关系

12P(x)PxdxNlk

(3)

lkl1•5.勒让德多项式的模 Nl22

2(4),Nl2l12l16.广义傅里叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时.fxflPlxl1

(5)2l1flfxPlxdx,211•7.在球坐标下Laplace方程: △u= 0的通解为:

轴对称

lBlur,Alrl1Ylm,6rl0ml lBluAlrl1Plcos,7rl0(6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0,l•u有限, Bl0,uAlrPlcos

(7)

l0l•而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r→∞,两个条件确定.8.母函数

112rcosr2rlPlcos

(8)

l09.递推公式

2l1xPlxlPl1xl1Pl1x,PlPl'1Pl'12xPl'.2l1PlPl'1Pl'1.l0

二.连带勒让德函数

•在一般情况下,物理量u与φ有关,故球函数Y是连带勒让德函数与周期函数的乘积.1.连带勒让德函数1xm22Plmx

(1)

2.连带勒让德函数的微分表示

Plm1x2l!lm22dlm2l1x.(2)lmdx从(2)可得当L一定时,m的取值为

m=0,1,2…L.共有L+1个值.而三角形式球函数Y（θ,φ）中,cosmφ,sinmφ为不同态,共有2L+1个态.3.正交关系

mm2PxPxdxNmllk.3lk1 2lm!2模平方Nml2l1lm!4.球函数Y的两种表示形式.第十一章

柱函数

一、掌握三类柱函数的基本性质

一般我们称Beel函数Jm(x)为第一类柱函数.而把Neumann函数Nm(x)称为第二类柱函数.1）对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.1xJmxiNmxHm1HxJmxiNmx2m

称为第一种与第二种汉克尔函数.而汉克尔函数称为第三类柱函数

2)x0和x时的行为limJ0x1,limJmx0.m0x0x0x0limNmx,limJmxx0limJmxx2mcosx,x242msinxx24m24x2i2,limHmxexxm24

limNmxxx2i1limHmxexx3)递推公式

m2kkdJmd112kxmdxxdxk0k!mk12m2kk12k1x2k1k0k!mk12Jm1x.1mx dxmJmxxmJm1x.2dx把1与2展开JmxJm1x.3xJmx'JmxmJm1x.4x'xmJm4）贝塞尔函数的零点

对m阶贝塞尔方程

dxdx2当0时,对柱侧面的齐次边界条件.RJJmx2d2RxdRx2m2R0.xm00.1mxnm记:xnm本征值:n（J'm00)20

对第一类齐次边界条件

得出第n个零点

对第二类齐次边界条件 二．贝塞尔函数的正交关系.• 对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间 • [0,ρ0]上带权重ρ正交.0J• m0mnJmm2kmd[Nn]nk.1

•

• 2）广义傅里叶-贝塞尔级数

ffnJmn1•

fn.2 1fJd.3Nmn0mm20mnn 13 • 3）Laplace在柱坐标下的通解 • 轴对称m=0,柱内解为

• 在侧面为第一类齐次边界条件时

0xnu,zAnshRn10xnzBnchR0xnzJ0.1R1xnzJ0R.2侧面为第二类齐次边界条件时•

1xnu,zA0B0zAnchRn11xnzBnshR

• 其中系数An,Bn由上下底边界条件确定.• 在上下底为齐次边界条件时, μ 0,R的解为虚宗量贝塞尔函数.记为Im(x)• 同样可得Laplace方程在柱内解 • 当轴对称时m=0 • 上下底满足第一类齐次边界条件时解为

u,z•

nzsin.2H对第二类齐次边界条件:nAIn0Hn1nznu,zAnI0.3cosHHn0

• 输运方程与波动方程在柱坐标下的解 •

1)解的形式:

u(r,t)=T(t)v(r)• V满足亥姆霍兹方程.在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件.在轴对称情况下m=0 对输运方程柱内的解: 上下底满足第一类齐次边界条件

0xnlzu,z,tanlJ0sinHen1,l1002xna02l2tH.1

波动方程在柱内的解: • 在上下底满足第一类齐次边界条件下

u,z,tnl0xlz00n.2anlcosknlatbnlsinknlatsinJ0H0•

0xl02nknl()H02

• 二维极坐标下的解: • 侧面满足第一类齐次边界条件

000u,tccoskatdsinkatJknnnn0n

（3）•

n1• 侧面满足第二类齐次边界条件

• u,ta0b0tcncoskatdnsinkatJ0k.4

1n1n1nn1•

第十二章

积分变换法 •

一、傅里叶变换法• 1。掌握傅里叶变换法的适用条件，即方程中的一个变量是在(-∞,∞)范围内时,可用Fourier 变换法.• 2。能用傅里叶变换法求解一些筒单的偏微分方程。•

二、Laplace变换法

• 1。掌握Laplace变换法的适用条件，即方程有初值情况,且一个变量 的变化范围在(0, ∞)

• 2。能用Laplace变换法求解一些筒单的偏微分方程。•

第十三章

格林函数法 • 1。知道格林函数的定义及物理意义 • 2。知道泊松方程解的积分形式

• 3。能用电像法求解泊松方程的格林函数。