数值分析第五章学习小结_数值分析第五章小结

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第五章

插值与逼近

--------学习小结

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班级

学号

一、本章学习体会

本章为插值与逼近，插值与逼近都是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解析表达式未给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。通过对本章的学习熟练的掌握了几种常用的正交多项式的应用问题并且学会了利用递推关系式和一些性质，可以快速的写出最佳平方逼近多项式，还有就是曲线拟合，通过本章的学习能够熟练的使用最小二乘法去拟合所给的数据，并且能够通过构造正交多项式去拟合所给的数据。在本章的学习过程中也遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易张冠李戴，其次对正交多项式的性质理解不够透彻，这些问题在做题时就能够体现出来，所以说通过做题才能发现问题所在。

二、本章知识梳理

5.1 Lagrange插值和Newton插值：

xxj①Lagrange插值基函数lk(x),k0,1,2，n；

j0xkxjnxxj②Lagrange插值多项式pn(x)yklk(x)[]yk；

xxk0k0j0kjnnjkjkn③节点选取原则：居中原则；

④Lagrange插值多项式的特点：直观对称，易建立插值多项式；但无继承性。Newton插值主要是差商的理解与应用，在做题过程中首先应根据已知条件构造差商表，然后根据差商表构造插值多项式；

⑤截断误差的求取： f(n1)()f(n1)()Rn(x)w(n1)(x)，并且f[x0,x1,...,xn]w(n1)(x)，计算时一(n1)!(n1)!般采用截断误差的估计式：Rn(x)5.2 Hermite插值

插值公式：Hmn1(x)pn(x)qm(x)wn1(x)，其中pn(x)应根据已知条件，使用Newton插值法构造Newton插值多项式，最后根据已知条件求解

Mn1wn1(x)。

(n1)!Hmn1(x)。5.3 样条插值

①定义在[a,b]上对应与分划的K次样条函数总可表示为：

1n1s(x)ajxcj(xxj)k，所以要想确定s(x)，需要n+k个条件；

k!j0j1jk②三次样条插值问题

（1）第一种边界条件：

'''''''' y0f''(x0),ynf''(xn)并且s''(x0)y0,s''(xn)yn（2）第二种边界条件：

'''' y0f'(x0),ynf'(xn)并且s'(x0)y0,s'(xn)yn（3）第三种边界条件：

s'(x0)s'(xn),s''(x0)s''(xn)

5.5正交多项式

b(f,g)(x)f(x)g(x)dx

a学习本节要熟练掌握权函数和内积的一些性质 1.正交多项式的概念与性质

①权函数：(x)

b②内积：(f,g)(x)f(x)g(x)dx

ab③正交：(f,g)(x)f(x)g(x)dx0

a0,ij④正交函数系：(i,j)(x)i(x)j(x)dx

ai0,ija

克莱姆-施密特正交化方法：

b0(x)1kk1k1(x)xakjj(x)(k0,1,)

j0k1(x,j)其中a(j0,1，k)kj(,)jj2.几种常用的正交多项式 ①Legendre多项式

L0(x)11dn2nLn(x)nn[(x1)],n1,2,2n!dx

②Chebyshev多项式

Tn(x)cos(narccosx),1x1

③Laguerre多项式

dn(xnex)Un(x)e,n0,1,dxnx

④Hermite多项式

dn(ex)nHn(x)(1)e,n0,1,dxnx22

5.6 函数的最佳平方逼近

①最佳平方逼近概念(f,f)min(f,f)

Hn②最佳平方逼近的条件(fp,j)0 ③ 最佳平方逼近元素是唯一的 ④最佳平方逼近元素的求法p(x)**c(x)，求系数c*kkk0n*k ⑤最佳平方逼近误差(fp,fp)

5.6.4曲线拟合①曲线拟合的最小二乘法②拟合曲线的求法

[(x)y][(x)y]min*2iiiii0Di0mm2

Dspan{0(x),1(x)，n(x)},nm

(x)c*jj(x)D *j0nA[0,1，n]，c[c0,c1，cn]T

法方程为ATAcATy

还可以通过构造正交多项式作为基函数组，然后去拟合给定的数据，此种方法不用求解矩阵，而是直接求解方程解出相应的系数。

三、本章思考题

问题1：在使用最小二乘法拟合所给数据时，是不是多项式的次数越高，拟合的精度越高？

解：拟合的精度可以用误差平方和来描述，通常来说，如果能用一次项公式来拟合的，用二次公式或三次公式来拟合则方差会更小；同理，能用二次公式来拟合的，用三次公式则方差会更小。因此如果能用这三种之一来拟合的话，则通常是三次公式的方差蕞小。当然如果三种拟合方式的均方差都小于预先所设定的范围时，可以随便选一种，通常是选越简单的式子（比如一次公式），如果方差都比较大，那说明这几种拟合方式都不太好，需寻找更合适的拟合。

问题2：插值与拟合的异同？

解：相同点：都需要根据已知数据构造函数，可使用得到的函数来计算未知点的函数值。不同点：插值需要构造的函数正好通过各插值点,拟合则不要求,只要均方差最小即可，对实验数据进行拟合时,函数形式通常已知,仅需要拟合参数值，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点，而插值是找到一 个连续曲面来穿过这些点。

四、本章测验题

1问题描述：定义内积：(f,g)f(x)g(x)dx，试在H1span1,x,x2中寻求

0对于f(x)x的最佳平方逼近元素p(x)。321解：0(x)1，1(x)x，2(x)x，(0,0)1dx1，(1,1)x2dx

30021111(2,2)xdx，(2,0)x2dx

530041111(2,1)xdx，(1,0)xdx

4200311222(0,f)xdx，(1,f)x2dx，(2,f)x2dx

57900011213121314123c05216412,c1,c2 .c1，解的：c010535747c122591321517所求的最佳平方逼近的元素为：

p(x)2164xx2 105357