《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄泛函知识点期末总结_泛函分析答案程其襄

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泛函知识点期末总结

一、关于有界线性算子，算子范数等

1、设 xXC[a,b]，定义X上的线性算子

T：若fC[a,b],(Tf)(t)x(t)f(t),t[a,b]。

求证：T有界，并求||T||。

2、设 XC[a,b],t0[a,b]。定义X上的线性泛函f：若xX,f(x)x(t0)。求证：f有界，并求||f||。

3、设 XC[a,b],t1,t2，tn[a,b],1,2,n,3C（全体复数集），定义X上的线性泛函f: 若xX,f(x)ix(ti)，f有界，并求||f||。

i1

二、关于共轭空间的定义及其求解

三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间

四、变分引理 极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1

五、投影定理，投影算子及其性质，六、Hilbert空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子

七、完全规范正交基及其判定定理

八、Banach空间的基本定理及其应用

九、Banach共轭算子的定义及其求法

十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明

十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系

十二、完备度量空间的定义及其应用

十三、压缩映射原理及其应用

十四、hölder 不等式，Minkowski不等式，Schwarz不等式

十五、稠密，可分，完备，柯西序列

十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性

空间