随机变量间的关系总结_随机变量及其分布总结

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两个随机变量间的关系总结 刘志伟20*** 摘要 二维随机向量（X,Y）之间存在函数关系，相互独立，相关关系以及相依关系等关系。本文主要从函数关系、相互独立来论述如何计算概率论中的分布函数等问题。本文还从相关系数入手来讨论两变量之间的线性关系，并将X,Y的协方差推广至Xi,Yj协方差，利用相关系数得到X,Y之间的一种（i，j)阶相关关系.关键词 函数关系；相互独立；相关关系；线性关系

1利用随机变量间的关系进行概率的计算[1] 1.1两个变量间的函数关系

函数关系是一种非常强的关系，这种关系表示一随机向量的所有可能取值都会被按照同一种规则被映射成另一随机变量，所以如果量随机变量之间存在函数关系的话，对于计算概率或者分布非常方便。下面总结了几种函数关系计算的方法。

1.1.1反函数法

设随机变量X具有概率密度fX(x)，-x，设yg(x)函数为处处可到，且其导函数单调。则Yg(X)是连续性随机变量，其概率密度为

fx[h(y)]|h'(y)|,fY(y)0，y其他

（1）

其中=min{g(-),g(+)},max{g(),g()},x=h(x)是yg(x)的反函数.1.1.2可加性

可加性可看成是随机变量间的函数关系。满足可加性的分布有很多：正态分布，二项分布，泊松分布，2分布等，很多问题的求解中利用可加性会更加简便.1.1.3特殊函数法

a极值分布

X，Y相互独立，一直其分布函数分别为FX(x)FY(y)，则最大值T=max(X,Y),最小值L=min(X,Y),分布函数分别为

FM(m)=FX(m)FY(m)，FL(l)=1-[1-FX(l)][1-FY(l)] b和分布

（2）

设(X,Y)的联合概率密度是f(x,y)，则和Z=X+Y的分布函数是

FZ(z)P{XYz}，则经过推导可得到fZ(z)f(x,zx)dx

1.2相互独立关系

利用相互独立来求联合分布率与联合分布函数是十分简答的，但是与函数关系不同的是，相互独立是几乎处处成立，也就是说在考虑求分布函数时由F(x,y)=FX(x)FY(y)求出联合分布。

离散时：P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}

连续时：由于几乎处处成立的概念，在证明f(x,y)=fX(x)fY(y)时要分别对测度为0与测度不为0的面积部分考虑.在讨论随机变量的数字特征时，我们考虑有如下等式：E(XY)E(X)E(Y)成立。但是由于（X,Y）这一随机向量的相互独立是有概率进行几乎处处的定义的，而数学期望只是对随机变量的某个数字特征（均值）的研究，所以，我们有如下结论：

X,Y相互独立E(XY)E(X)E(Y)

E(XY)E(X)E(Y)X,Y相互独立

1.3两变量间的独立性与函数关系

在概率论研究中，独立性是概率论研究中的一个关键，但是两变量相互独立与两变量存在某种函数关系常常被混为一谈。实际上两变量间的相互独立并不意味着两变量间是没有任何关系的，甚至很有可能存在某种确定的函数关系从直观的角度来理解，两个随机变量独立是指它们的各自取值在概率测度P 下的分布规律互不影响，而不是随机变量本身函数值大小满足一定的约束条件。2两变量间的相关关系

相关系数可用来描述两变量间的相关关系，但这种相关关系是在描述两变量间的线性相关关系。如果把相关系数的协方差定义进行推广，可以得到（i,j)阶协方差。[2]此时可以推出两变量间的一种非线性相关关系。

2相关关系 2.1相关系数

a协方差定义：若关于随机变量(X,Y)的数学期望E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，存在则称

-E(X)]-[EY(Y)] }

covX(,Y)E{[X

（3）

为随机变量X,Y的协方差.b相关系数定义：若随机变量(X,Y)的协方差及方差存在，而且D(X)>0,D(Y)>0,则称

XY为随机变量间的相关系数.covX(,Y)

（4）

D(X)D(Y)可以从2个方面来理解XY： a标准化协方差 记X*=XE(X)*YE(Y)Y=,则XY=cov(X*,Y*).D(X)D(Y)b线性相关性

XY刻画了随机变量X,Y间所具有某种线性关系的紧密程度.事实上可以用线性函数YaXb来近似估计Y，且近似程度将用d=E(YY)2来刻画.且^^dmin(1XY)D(Y).[3]当|XY|越接近于1时，该线性关系就越强，当XY=0时表示两变量间无线性关系，但可能存在其他函数关系.2.2线性关系

随机变量间的线性关系有两种。

第一种是确定的线性关系，这种关系可以归于上述的函数关系中，是比较好理解的。

第二种是随机变量X,Y以概率为1存在着线性关系，可以表示YaXb几乎处处成立，故我们有如下结论：

|XY|=1a,b使P(YaXb)（5）2.3随机变量X与Y的(i,j)阶相关关系

若将（3）式中的X,Y分别替换成Xi,Yj即X,Y的函数，则Xi,Yj的协方差是

cov(Xi,Yj)E{[Xi-E(Xi)][Yj-E(Yj)]}

（6）

（7）XYijcov(Xi,Yj)D(X)D(Y)ij

类比相关系数（5）式，我们可以得到 |XiYj|=1a,b使P(YjaXib)1

（8）

这里就得出了一个Xi,Yj之间的线性相关关系，也就是X,Y之间的一种非线性相关关系.当XiYj=0时，称X,Y之间无（i，j）阶关系；

当XiYj0时，称X,Y之间有（i，j）阶相关关系。通常我们说X,Y之间有（i，j）阶相关关系是指使得XiYj0中i，j分别为最小的一对数.3总结 本文对两变量间的函数关系与相互独立进行分析，并给出利用这两种关系进行分布的计算方法.函数关系包含线性函数关系、极值函数关系及和函数关系等.相互独立与函数关系是随机变量两种不同的概念.相关关系是指两变量之间满足线性相关关系，但是利用(i，j)阶相关系数可以得到一种X,Y之间的非线性相关关系.参考文献 [1] 徐全智 吕恕 概率论与数理统计.高等教育出版社 北京 2013 [2] 朱庆南.两个随机变量之间的相关关系[J].上海建材学院学报,1993,04:330-334.[3] 石业娇,孟宪涛.随机变量间的相互关系与分类[J].沈阳师范大学学报(自然科学),2014,02:222-225.