第二章导数与微分总结_第2章导数与微分总结

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第二章 导数与微分总结

一、导数与微分概念

1．导数的定义

设函数yfx在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量x，相应地函数增量yfx0xfx0。如果极限

limfx0xfx0y limx0xx0x，存在，则称此极限值为函数fx在x0处的导数（也称微商），记作fx0，或yxx0dfxdy，等，并称函数yfx在点x0处可导。如果上面的极限不存在，xxxxdxdx00则称函数yfx在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令xx0x，xxx0，则fx0limxx0fxfx0

xx0fxfx0fx0xfx0lim x0xx0xfxfx0fx0xfx0lim x0xx0x

我们也引进单侧导数概念。

右导数：fx0limxx0

左导数：fx0limxx0

则有

fx在点x0处可导fx在点x0处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义

如果函数yfx在点x0处导数fx0存在，则在几何上fx0表示曲线yfx在点x0,fx0处的切线的斜率。

切线方程：yfx0fx0xx0

法线方程：yfx01xx0fx00 fx0

设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为Sft，如果ft0存在，则ft0表示物体在时刻t0时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数yfx在点x0处可导，则fx在点x0处一定连续，反之不然，即函数yfx在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。例如，yfxx，在x00处连续，却不可导。

4．微分的定义

设函数yfx在点x0处有增量x时，如果函数的增量yfx0xfx0有下面的表达式

yAx0xox

x0

其中Ax0为x为无关，ox是x0时比x高阶的无穷小，则称fx在x0处可微，并把y中的主要线性部分Ax0x称为fx在x0处的微分，记以dy或

xx0dfxxx0。

我们定义自变量的微分dx就是x。

5．微分的几何意义

yfx0xfx0是曲线yfx在点x0处相应于自变量增量x的纵坐标fx0的增量，微分dy增量（见图）。xx0是曲线yfx在点M0x0,fx0处切线的纵坐标相应的6．可微与可导的关系

fx在x0处可微fx在x0处可导。

且dyxx0Ax0xfx0dx

一般地，yfx则dyfxdx

所以导数fxdy也称为微商，就是微分之商的含义。dx

7．高阶导数的概念

如果函数yfx的导数yfx在点x0处仍是可导的，则把yfx在点x0处

d2y的导数称为yfx在点x0处的二阶导数，记以y，或fx0，或等，xx0dx2xx0也称fx在点x0处二阶可导。

如果yfx的n1阶导数的导数存在，称为yfx的n阶导数，记以yn，dnyyx，n等，这时也称yfx是n阶可导。

dxn

二、导数与微分计算

1．导数与微分表（略）

2．导数与微分的运算法则

（1）四则运算求导和微分公式

[f1f2]f1f2f1f2

[f1f2f3]f1f2f3f1f2f3f1f2f3 '''''''f'f'gfg'

() 2gg

（2）反函数求导公式

设yf(x)的反函数为xg(y)，则g(y)

（3）复合函数求导和微分公式

设yf(u),ug(x)，则

（4）隐函数求导法则

每一次对x求导，把y看作中间变量，然后解出y

例：exy''11 ''f(x)f[g(y)]dydyduf'[g(x)]g'(x)dxdudxsin(3x2y)5x6y7，确定yy(x)，求y'

解：两边每一项对x求导，把y看作中间变量

exy(1y')[cos(3x2y)](32y')56y'0

'

然后把y解出来

（5）对数求导法

取对数后，用隐函数求导法则

y

lny

求导得

(x1)(x2)

(x3)(x4)1[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)] 2y'11111()y2x1x2x3x4

解出y'

yxxx0

xlnx

ye 解出y'

lnyxlnx

y'lnx1解出y' y

（6）用参数表示函数的求导公式

dydydt'(t)设x(t),y(t),则dxdx'(t)dt

('(t)0)