曲线积分与格林公式总结_曲线积分和格林公式

曲线积分与格林公式总结由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“曲线积分和格林公式”。

一、对弧长的曲线积分的概念与性质

曲线形构件的质量

设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) 求曲线形构件的质量

把曲线分成n小段 s1 s2    sn(si也表示弧长)

任取(i  i)si 得第i小段质量的近似值(i  i)si

整个物质曲线的质量近似为M(i,i)si

i1n

令max{s1 s2    sn}0 则整个物质曲线的质量为

Mlim(i,i)si

0i1n

这种和的极限在研究其它问题时也会遇到

定义

设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界 在L上任意插入一点列M1 M2    Mn1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为si 又(i i)为第i个小段上任意取定的一点 作乘积f(i i)si(i1 2   n) 并作和f(i,i)si 如果当各小弧

i1n段的长度的最大值0 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长

n的曲线积分或第一类曲线积分 记作

limf(i,i)si

Lf(x,y)ds 即Lf(x,y)ds0i1其中f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

设函数f(x y)定义在可求长度的曲线L上 并且有界

将L任意分成n个弧段 s1 s2    sn 并用si表示第i段的弧长

在每一弧段si上任取一点(i i) 作和f(i,i)si

i1n

令max{s1 s2    sn} 如果当0时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分 记作

nLf(x,y)ds 即

limf(i,i)si

Lf(x,y)ds0i1其中f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

曲线积分的存在性 当f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分是存在的

以后我们总假定f(x y)在L上是连续的

Lf(x,y)ds

根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分

L(x,y)ds的值 其中(x y)为线密度

对弧长的曲线积分的推广

limf(i,i,i)si

f(x,y,z)ds0i1n

如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定

LL12f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds

L1L

2闭曲线积分 如果L是闭曲线 那么函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

Lf(x,y)ds

对弧长的曲线积分的性质

性质1 设c1、c2为常数 则

L[c1f(x,y)c2g(x,y)]dsc1Lf(x,y)dsc2Lg(x,y)ds

性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则

Lf(x,y)dsLf(x,y)dsL1f(x,y)ds

2性质3设在L上f(x y)g(x y) 则

Lf(x,y)dsLg(x,y)ds

Lf(x,y)ds|L|f(x,y)|ds 特别地 有

|

二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为

Lf(x,y)ds

x(t) y(t)(t)

另一方面 若曲线L的参数方程为 则质量元素为

f(x,y)dsf[(t), (t)]曲线的质量为

即

2(t)2(t)dt

f[(t), (t)]2(t)2(t)dt

f(x,y)dsf[(t), (t)]2(t)2(t)dt

L

定理 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为

x(t) y(t)(t)

其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0 则曲线积分且

Lf(x,y)ds存在

Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt(



证明（略）

应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限

讨论

(1)若曲线L的方程为y(x)(axb) 则提示

L的参数方程为xx y(x)(axb)

Lf(x,y)ds? Lf(x,y)dsf[x,(x)]12(x)dx

ab

(2)若曲线L的方程为x(y)(cyd) 则提示

L的参数方程为x(y) yy(cyd)

Lf(x,y)ds? Lf(x,y)dscdf[(y),y]2(y)1dy

(3)若曲的方程为x(t) y(t) z(t)(t)

则f(x,y,z)ds?

提示 f(x,y,z)dsf[(t),(t),(t)]2(t)2(t)2(t)dt



例1 计算Lyds 其中L是抛物线yx2上点O(0 0)与点B(1 1)之间的一段弧

解 曲线的方程为yx2(0x1) 因此

L11ydsx21(x2)2dxx14x2dx1(551)

001

2例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)

解 取坐标系如图所示 则I

曲线L的参数方程为

xRcos yRsin(

于是

ILy2ds

Ly2dsR2sin2(Rsin)2(Rcos)2d



R3sin2dR(sin cos)

3

例3 计算曲线积分

(x2y2z2)ds 其中为螺旋线xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧

解 在曲线上有x2y2z2(a cos t)2(a sin t)2(k t)2a2k 2t 2 并且

ds(asint)2(acost)2k2dta2k2dt

于是

(x2y2z2)ds(a2k2t2)a2k2dt

02

2a2k2(3a242k2)

3小结 用曲线积分解决问题的步骤

(1)建立曲线积分

(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程) 确定参数的变化范围

(3)将曲线积分化为定积分

(4)计算定积分

§10 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

变力沿曲线所作的功

设一个质点在xOy面内在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 试求变力F(x y)所作的功

用曲线L上的点AA0 A1 A2    An1 AnB把L分成n个小弧段

设Ak(xk  yk) 有向线段AkAk1的长度为sk 它与x轴的夹角为k  则

AkAk1{cosk,sink}sk(k0 1 2    n1)

显然 变力F(x y)沿有向小弧段Ak Ak1所作的功可以近似为

F(xk,yk)AkAk1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk 于是 变力F(x y)所作的功

W从而

W[P(x,y)cosQ(x,y)sin]ds

L这里(x y) {cos sin}是曲线L在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量

n1F(xk,yk)AkAk1k1n1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk

k

1把L分成n个小弧段 L1

L2   

Ln

变力在Li上所作的功近似为

F(i i)siP(i i)xiQ(i i)yi 

变力在L上所作的功近似为

[P(i,i)xiQ(i,i)yi]

i1nn

变力在L上所作的功的精确值

Wlim0[P(i,i)xiQ(i,i)yi]

i1其中是各小弧段长度的最大值

提示

用si{xiyi}表示从Li的起点到其终点的的向量 用si表示si的模

对坐标的曲线积分的定义

定义 设函数f(x y)在有向光滑曲线L上有界 把L分成n个有向小弧段L1

L2   

Ln 小弧段Li的起点为(xi1 yi1) 终点为(xi yi) xixixi1 yiyiyi1(i )为Li上任意一点 为各小弧段长度的最大值

如果极限lim0f(i,i)xi总存在 则称此极限为函数

i1n f(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 记作

Lf(x,y)dx 即

limf(i,i)xi Lf(x,y)dx0i1

如果极限limn0f(i,i)yi总存在 则称此极限为函数

i1n f(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 记作

Lf(x,y)dy 即

limf(i,i)yi

Lf(x,y)dy0i1

设L为xOy面上一条光滑有向曲线 {cos sin}是与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y)、Q(x y)在L上有定义

如果下列二式右端的积分存在 我们就定义

nLP(x,y)dxLP(x,y)cosds

LQ(x,y)dyLQ(x,y)sinds 前者称为函数P(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 后者称为函数Q(x y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分

定义的推广

设为空间内一条光滑有向曲线 {cos cos cos}是曲线在点(x y z)处的与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上有定义 我们定义(假如各式右端的积分存在)

P(x,y,z)dxP(x,y,z)cosds

Q(x,y,z)dyQ(x,y,z)cosds R(x,y,z)dzR(x,y,z)cosds

nlimf(i,i,i)xi

Lf(x,y,z)dx0i1limf(i,i,i)yi

Lf(x,y,z)dy0i1limf(i,i,i)zi Lf(x,y,z)dz0i1对坐标的曲线积分的简写形式

nnLP(x,y)dxLQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x,y)dy

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz



对坐标的曲线积分的性质

(1)如果把L分成L1和L2 则

LPdxQdyLPdxQdyLPdxQdy

2(2)设L是有向曲线弧 L是与L方向相反的有向曲线弧 则

LP(x,y)dxQ(x,y)dLP(x,y)dxQ(x,y)dy

两类曲线积分之间的关系

设{cosi sini}为与si同向的单位向量 我们注意到{xi yi}si 所以 xicosisi yisinisi

limf(i,i)xi Lf(x,y)dx0i1n

limf(i,i)cosisif(x,y)cosds

L0i1nn

limf(i,i)yi Lf(x,y)dy0ilim0f(i,i)sinisiLf(x,y)sinds

i1n即

LPdxQdyL[PcosQsin]ds

LAdrLAtds 或

其中A{P Q} t{cos sin}为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量 drtds{dx dy}

类似地有

或

PdxQdyRdz[PcosQcosRcos]ds

AdrAtdsAtds

其中A{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧上点(x y z)处单们切向量 drTds {dx dy dz } A t为向量A在向量t上的投影

二、对坐标的曲线积分的计算

定理 设P(x y)、Q(x y)是定义在光滑有向曲线 L x(t) y(t)

上的连续函数 当参数t单调地由变到时 点M(x y)从L的起点A沿L运动到终点B 则

讨论 提示

LP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt

LQ(x,y)dyQ[(t),(t)](t)dt

LP(x,y)dxQ(x,y)dy？

LP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt



定理 若P(x y)是定义在光滑有向曲线

L

x(t) y(t)(t)上的连续函数 L的方向与t的增加方向一致 则

LP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt

简要证明 不妨设 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{(t) (t)} 所以cos(t)

22(t)(t)从而

LP(x,y)dxLP(x,y)cosds

P[(t),(t)](t)2(t)2(t)dt

2(t)2(t)

 P[(t),(t)](t)dt

应注意的问题

下限a对应于L的起点 上限 对应于L的终点 不一定小于 

例1计算Lxydx 其中L为抛物线yx上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧

2解法一 以x为参数 L分为AO和OB两部分

AO的方程为yx x从1变到0 OB 的方程为yx x从0变到1

因此

LxydxAOxydxOBxydx

1x(10x)dxxxdx20113x2dx4 05

第二种方法 以y为积分变量 L的方程为xy2 y从1变到1 因此

224xydxyy(y)dy2ydyL11

51例2 计算Ly2dx

(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 

(2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a

0)的直线段

解

(1)L 的参数方程为 xa cos ya sin

从0变到

因此

4a3

22232ydxasin(asin)da(1cos)dcosL0032a(2)L的方程为y0 x从a变到a

因此

Lydxa0dx0

2例

3计算L2xydxx2dy(1)抛物线yx上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧(2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧(3)从O(0 0)到A(1 0) 再到R(1 1)的有向折线OAB 

解

(1)L yx2 x从0变到1 所以

L2xydxx2dy(2xx2x22x)dx4x3dx1

0021211(2)L xy2 y从0变到1 所以

L2xydxxdy0(2yy2yy)dy5y4dy1 

041

(3)OA y0 x从0变到1 AB x1 y从0变到1

L2xydxx2dyOA2xydxx2dyAB2xydxx2dy

(2x0x20)dx(2y01)dy011 0101

例4 计算x3dx3zy2dyx2ydz 其中是从点A(3 2 1)到点B(0 0 0)的直线段AB

解 直线AB的参数方程为

x3t y2t xt

t从1变到0 所以 所以

I87

3223[(3t)33t(2t)2(3t)2t]dt87tdt11400

例5 设一个质点在M(x y)处受到力F的作用 F的大小与M到原点O的距离成正比 F

x2y21的方向恒指向原点

此质点由点A(a 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点B(0 b) 2ab求力F所作的功W

x2y21

例5 一个质点在力F的作用下从点A(a 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点

ab2B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W

解 椭圆的参数方程为xacost ybsint  t从0变到 

rOMxiyj Fk|r|(其中k>0是比例常数

r)k(xiyj)

|r|xdxydy

于是

W kxdxkydykA ABB

k

02(a2costsintb2sintcost)dt

k(a2b2)02sintcostdtk(a2b2)

三、两类曲线积分之间的联系

由定义 得

LPdxQdyL(PcosQsin)ds LL

{P,Q}{cos,sin}dsFdr

其中F{P Q} T{cos sin}为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量 drTds{dx dy}

类似地有

PdxQdyRdz(PcosQcosRcos)ds 

{P,Q,R}{cos,cos,cos}dsFdr

其中F{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧上点(x y z)处单们切向量 drTds {dx dy dz }

一、格林公式

单连通与复连通区域

设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D

则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域

对平面区域D的边界曲线L 我们规定L的正向如下 当观察者沿L的这个方向行走时 D内在他近处的那一部分总在他的左边

区域D的边界曲线L的方向

定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有

(DQP)dxdyPdxQdy

Lxy其中L是D的取正向的边界曲线

简要证明

仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明

设D{(x y)|1(x)y2(x) axb} 因为

P连续 所以由二重积分的计算法有 yPdxdyb{2(x)P(x,y)dy}dxb{P[x,(x)]P[x,(x)]}dx

21ya1(x)yaD另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

LPdxLPdxLPdxaP[x,1(x)]dxbP[x,2(x)]dx

12ba

{P[x,1(x)]P[x,2(x)]}dx

因此

abPdxdyPdx yLD

设D{(x y)|1(y)x2(y) cyd} 类似地可证

QxdxdyLQdx

D由于D即是X－型的又是Y－型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得

QPdxdyPdxQdy

LxyD

应注意的问题

对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向

设区域D的边界曲线为L 取Py Qx 则由格林公式得

2dxdyLxdyydx 或Adxdy2Lxdyydx

D1D

例1 椭圆xa cos  yb sin 所围成图形的面积A

分析

只要QPQ1 就有(P)dxdydxdyA

xyxyDD

解 设D是由椭圆x=acos  y=bsin 所围成的区域

令P1y Q1x 则QP111

xy2222于是由格林公式

A1ydx1xdy1ydxxdy dxdyL222LD

2112(absin22abcos)dabdab

0220

例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明

L2xydxx2dy0

QP2x2x0

xy

证 令P2xy Qx2 则因此 由格林公式有L2xydxx2dy0dxdy0(为什么二重积分前有“”号？)

D2

例3 计算eydxdy 其中D是以O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形闭区域

D

分析 要使QPy22e 只需P0 Qxey

xy

2解 令P0 Qxey 则

QPy2e 因此 由格林公式有 xyy2

eDy2dxdyOAABBOxedyxeOAy2dyxexdx1(1e1)

0212

例4 计算xdyydxLx2y2 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向

yQy2x2Px22

解 令P2 Q2 则当xy0时 有

x(x2y2)2yxy2xy2记L 所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 由格林公式得

xdyydxLx2y20

当(0 0)D时 在D内取一圆周l x2y2r 2(r>0) 由L及l围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得

xdyydxxdyydxLx2y2lx2y20

其中l的方向取逆时针方向

2r2cos2r2sin2xdyydxxdyydxd2 22 于是0Lx2y2lxyr2

解 记L 所围成的闭区域为D

当(0 0)D时 由格林公式得

xdyydxQP(Lx2y2xy)dxdy0

D

当(0 0)D时 在D内取一圆周l x2y2r2(r0) 由L及l围成了一个复连通区域D1 应用格林公式得 xdyydxQP(Llx2y2xy)dxdy0

D1即xdyydxxdyydxLx2y2lx2y20

其中l的方向取顺时针方向

于是

xdyydxxdyydx2r2cos2r2sin2d2 Lx2y2lx2y20r2yQy2x2Px22分析 这里P2 Q2 当xy0时 有

x(x2y2)2yxy2xy2