小波分析小结_小波分析心得体会

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小波分析的形成小波分析是一门数学分支，是继Fourier变换之后新的时频域分析工具。小波理论的形成经历了三个发展阶段：

Fourier变换阶段：

Fourier变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。设信号f(t)，其Fourier变换为：

F()f(t)eitdt

F()确定了f(t)在整个时间域上的频谱特性。但Fourier变换不能对信号从时域和频域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。

例：f(t)1,(2t2)，其Fourier变换对应图如下：

短时Fourier变换阶段：

短时Fourier变换即加窗Fourier变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。其表达式为：

Gf(,)f(t),g(t)ejtf(t)g(t)ejtdt

R式中，g(t)为时限函数，即窗口函数，ejt起频限作用，Gf(,)大致反映了f(t)在时、频率为的信号成分含量。

由上式，短时Fourier变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。

小波分析阶段：

为了克服上述缺点，小波变换应运而生。小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。对信号可以进行概貌和细节上的分析。

小波的定义：

()，若满足设(t)L2(R)（为能量有限的空间信号），其Fourier变换为容许条件：

|()|2||d

(0)(t)dt0，说明(t)具有波动则称(t)为母小波，由容许条件可得：性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.t12以Marr小波(t)(1t)e2为例，如下图：

22

将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下:

b,a(t)1tb(),a0

aa其中a为伸缩因子，b为平移因子。

a 以Marr小波为例，分别取伸缩平移因子a，b为0.5、1、2、4；-1、0、1，对应图形如下:

Daubichies小波

常见的小波有Daubechies、Symlets、Morlet、Mexican Hat、Meyer小波等，其对应的图形及性质如下：

Daubechies小波是正交小波，没有解析表达式（除Haar小波外）。其简写形式为dbN，N表示阶数，支集区间为（0，2N-1）。

Symlets小波与db小波的差别是sym小波有更好的对称性。

Morlet小波不具备正交性，不存在紧支集，不能做离散小波变换，没有解析尺度函数，其小波函数为：

(x)ex/2cos(5x)

Mexican Hat小波不具有正交性，不存在尺度函数，是高斯函数的二阶导数，小波函数为：

2(x)21/4x2/2e 3Meyer小波为在频域定义的具有解析形式的正交小波，不存在紧支集，但其频谱有限，具有对称性。

小波函数的特点：

正交性：小波函数与自身内积为1，而与其伸缩平移后的小波系列内积为0。正交小波的优点是小波变换可将信号分解到无重叠的子频带上，并且可以进行高效的离散小波变换。

对称性：不具有对称性的小波函数所重构的信号会有相位失真。

紧支性：具有紧支性的小波其小波函数仅在有限区间内是非零的，其局部化能力强，小波变换复杂度低。

正则性：用于刻画小波函数的光滑程度，正则性越高，函数越光滑。

消失矩：用于衡量小波逼近光滑函数时的能力。消失矩越大，压缩比越大。

尺度函数：若函数(t)L2(R)，其整数平移系列k(t)(tk)满足：

k(t),k(t)kk

则称(t)为尺度函数。

对尺度函数(t)进行平移和伸缩，可得一个尺度和位移均可变的函数集合：

j,k(t)2j/2(2jtk)k(2jt)

称每一个固定尺度j上的平移系列k(2jt)所张成的空间Vj为尺度j的尺度空间：

Vjspank(2jt),kZ

正交多分辨分析：Hilbert空间L2(R)中，若一列闭子空间{Vj}jz满足如下性质：嵌套性：VjVj1,(jz);逼近性：Vj{0},VjL2(R);

jzjz伸缩性：f(t)Vjf(2t)Vj1;

平移不变性：f(t)Vjf(tk)Vj,jZ;

正交性（Riesz基）：存在(t)V0，使得{(tk),kz}是V0的标准正交基。滤波器：在二尺度方程中，对系数系列{hk}kz和gk(1)kh1k,kz作Fourier 变换得H()和G()，其中H()11ikikheG()ge，称H()和kk2kz2kzG()分别为低通滤波器和高通滤波器。称{hk}kz和{gk}kz分别为低通滤波器系数和高通滤波器系数。小波变换

连续小波变换：设为一母小波，f(t)L2(R)，称

(Wf)(a,b)f,a,b|a|12f(t)(tb)dt a为f的连续小波变换。

离散小波变换

离散小波：通过离散化连续小波变换中的平移因子b和尺度因子a得到，通

mm常取aa0,bnb0a0,m,nZ.m2离散小波变换：(Wf)(a,b)f,a,b|a0|f(t)(a0mtnb0)dt

若取a02,b01，可以得到二进小波：m,n(t)2m/2(2mtn),m,nZ

信号的离散小波变换并不是直接由尺度函数(t)和对应的小波(t)与信号内积来实现，而是利用滤波器组h[n]和g[n]来实现，用矩阵形式表述如下：

cj[0]00cj1[0]c[1]h[0]h[1]h[k]0c[1]j00h[0]h[1]h[k]0j1 c[n1]c[n1]h[k]0000h[0]h[1]jj12dj[0]00cj1[0]d[1]g[0]g[1]g[k]0c[1]j00g[0]g[1]g[k]0 j1d[n1]c[n1]g[k]0000g[0]g[1]jj12其中，设滤波器长度为k。并且两滤波器系数间有如下关系：

gk(1)kh1k,kz

|hkzk|22； 2； h2k11;kzhkzkzkh2khkzk2nkh2n0,nz

以db5小波为例，其低通滤波器系数如下（这里取二尺度方程为(t)2hk(2tk)）所得的系数：

kzh[0]=0.160102397974;h[1]=0.603829269797;h[2]=0.724308528438;h[3]=0.***1;h[4]=-0.242294887066;h[5]=-0.032244869585;h[6]=0.077571493840;h[7]=-0.006241490213;h[8]=-0.012580751999;h[9]=0.003335725285;变换所得系数cj和dj分别为离散小波变换的不同尺度下的低频和高频系数。

小波逆变换即信号的重建运算，重构是从尺度最低的近似系数cj和细节系数dj开始，通过低频和高频重构滤波器恢复出上一尺度的近似信号cj1，继续这个过程，直到恢复原始信号。其计算公式为：

cj1,mcj,kh(m2k)dj,kg(m2k),kZ

kk离散小波变换与重构实例如下：

所采用的信号为添加白噪声的正弦信号，信号共1000个采样，采用db4小波做3层分解，其原始信号、低频系数、高频系数和重构信号如下图：