关于费马点知识总结_关于费马点知识总结

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费马点

一、研究目的

费马点是17世纪法国著名的数学家费马发现的。所指的是在三角形所在的平面上，有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。而费马点有许多有意义的性质，即为此，本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。

二、研究结果

（一）费马点的发现者

费马点的发现者是费马［Fermat, Pierre de, 1601-1665］，17世纪的法国数学家。1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙--德洛马涅出生。早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师。自1631年起任图卢兹议会议员。任职期间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题。他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识。虽年近三十才认真注意数学，但成就累累。最后于1665年1月12日在卡斯特尔逝世。

他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论着，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书［共两卷］，在图卢兹出版。

由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多，被后世誉为「业余数学家之王」。

（二）费马点的求法

△ABC需是三个内角皆小于120°三角形，分别以 AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。

（三）费马点的验证

1.△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ABC外

侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为

费马点。则可得出结论：

①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③点P 是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；④

点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；⑤△ABP、△ACP、△BCP全等。⑥点P是△ABC各边的中线的交

点；⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点

P为费马点时和最小。

2.△ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ABC外

侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为

费马点。则可得出结论：

①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为

费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③

△ABP与△ACP全等；④△BCP为等腰三角形。

3.△ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ABC外

侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为

费马点。则可得出结论：

①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为

费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°

（四）费马点的性质

1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小

2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°

3.费马点为三角形中能量最低点。（调查得知）

4..三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。（调查得知）

（五）费马点的应用

在实际生活中，若三角形的三个顶点分别是在三个地方，而要求是在“三角形”内建一处车站等，且要是车站到三个地方的公路路程和最短，可利用费马点的性质①：费马点到三角形三个顶点距离之和最小。则这车站应建在费马点上。

三、结论

由此次研究可让我们知道，若想要在某方面做出伟大成就必先努力、锲而不舍的钻研，就如胡适所言：“做学问要再不疑处有疑„„”。并且，将成就运用于生活，服务生活，方便生活，才是他们的价值所在！

二、找费马点

在平面上一三角形ABC，试找出内部一点P，使得PAPBPC为最小。首先，让我们先找到P点的性质，再来研究怎么做出P点。

P点有什么性质呢？它的位置是否有什么特殊意义呢？在中学里，我们学过三角形的内心、外心、重心以及垂心，P点和这些心之间有关联吗？还是和有些线段长、角度大小有关系呢？

APCB

APB、BPC和CPA很接近，这三个角度有何关联？ 【解法1】

C'AP'PC

1如右图，以B点为中心，将APB旋转60到C'BP' ○

B

因为旋转60，且PBP'B，所以P'PB为一个正三角形PBP'P

因此，PAPBPCP'C'P'PPC

由此可知当C'、P'、P、C四点共线时，PAPBPCP'C'P'PPC为最小 2若C'P'P共线时，则 ○

BP'P60C'P'BAPB120

同理，若P'PC共线时，则BPP'60BPC120 所以P点为满足APBBPCCPA120的点。

但是，该用什么方法找出P点呢？

C'AB'PCB

以ABC三边为边，分别向外作正三角形ABC'、A'BC、AB'C 连接AA'、BB'、CC'

AA'、BB'、CC'三线共点，设交点为P，即为所求

A'【证明1】

(在解法1曾提到若PAPBPCP'C'P'PPC，即C'P'PC四点共线时，PAPBPCC'C有最小值，所以P要在CC'上。)

C'2P'4DP31CBAB'

ABB'AC'C12

A'

则DPB~DAC'，得3460

在PC'上取点P'，使得BPBP'BPP'为正三角形 则ABPC'BP'，得APC'P'

所以PAPBPCP'C'P'PPCC'C 【证明2】

C'AB'PCB

APBBPCCPA120，又A'BPC四点共圆(BPCBA'C180)所以CPA'60

故APCCPA'180，因此P在AA'上 同理可证P在BB'、CC'上，故P为AA'、BB'、CC'三线交点

三、画出费马点

经过上面的讨论，可以知道，在平面上ABC，想找出一点P，使PAPBPC为最小，A'

方法为：分别以AB、BC为边长做出正三角形ABC'及A'BC，连接AA'、CC'，两线交于一点P，P点即为费马点。

使用上述方法需要注意到一点，ABC的每一个内角均小于120，如果其中有一内角大于120，那么P点就是ABC最大内角的顶点。