求极限的方法及例题总结解读_求极限的方法及例题

求极限的方法及例题总结解读由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“求极限的方法及例题”。

1．定义：

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x2lim(3x1)5

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限

这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则

定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）limf(x)g(x)AB（3）limf(x)A,(此时需B0成立)g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限

这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

limx1

例1 3x12x1

(3x1)2223x33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4解：原式=。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 limn(n2n1)n

nn[(n2)(n1)]分子分母同除以limnn2n1limn31211nn32解：原式=(1)n3nlimnn例3 n23

。上下同除以3n解：原式

1()n1lim31n2n()13。

3．两个重要极限

sinx1x0x（1）lim（2）x0lim(1x)e1xlim(11)xex；x

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，sin3x3lim1lim(12x)2xelim(1)3ex例如：x03x，x0，x；等等。

1x

利用两个重要极限求极限

1cosx2x03x例5 limxx2sin22lim21limx0x0x63x212()22解：原式=。2sin2注：本题也可以用洛比达法则。例6 lim(13sinx)x02x

16sinx3sinxx解：原式=x0 lim(13sinx)lim[(13sinx)x013sinx]6sinxxe6。例7 lim(nn2n)n1

n13nn133lim(1)nn1解：原式=33n1lim[(1)]e3nn1。

n13n

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsin面的等价

x～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上关系成立，例如：当x0时，e3x1～3x；ln(1x2)～x2。

f1(x)f(x)limg1(x)存在时，xx0g(x)也存在且定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当xx0limf1(x)f1(x)f(x)limlimlimxxxx0g(x)xx0g(x)0g(x)f(x)11等于，即=。

利用等价无穷小代换（定理4）求极限

limx0例9 xln(13x)arctan(x2)ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2，解：x0时，limx3x3x2。 原式=x0exesinxlim例10 x0xsinx

esinx(exsinx1)esinx(xsinx)limlim1x0x0xsinxxsinx解：原式=。

注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlimlim1x0x0xsinxxsinx原式=。

正如下面例题解法错误一样：

limx0tanxsinxxxlim0x0x3x3。

1tan(x2sin)xlimsinx例11 x0

解：当x0时，x2sin111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价xxx，x2sin所以，原式=x0

lim1xlimxsin10x0xx。（最后一步用到定理2）

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。例 1.x01/21

lim(1xsinx1sinsin(x1))lim2lnxex1 2.x0

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

f(x)limg(x)存在（或是无穷大）（3）；

limf(x)f(x)limmilg(x)也一定存在，g(x)，且等于即

f(x)f(x)limg(x)=g(x)。则极限说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件

0（1）是否满足，即验证所求极限是否为“0”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

1cosx2x03x例12（例4）limsinx1x06x6。解：原式=（最后一步用到了重要极限）limcosx例13 limx12x1 2sinx解：原式=x1例14 limx0lim212。

xsinxx3 lim1cosxsinx1lim2x0x06x6。3x解：原式==（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

sinxxcosx2例15 x0xsinx lim解：

原式limsinxxcosxcosx(cosxxsinx)limx0x0x2x3x2xsinx1limx03x23先用等价无穷小，再用洛必达法则

11lim[]x0xln(1x)例18

11lim[]0解：错误解法：原式=x0xx。

正确解法：原式limln(1x)xln(1x)xlimx0xln(1x)xxx011x1lim1xlim。x0x02x2x(1x)2

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 limxx2sinx3xcosx

12cosx0lim解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：x3sinx，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinxxlimxcosx3x（分子、分母同时除以x）原式=1

1=3（利用定理1和定理2）

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有xx0limf(x)f(x0)。利用函数的连续性（定理6）求极限

例4 limx2ex21x

12x解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点，所以原式=2e4e。

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设a0，x1a,x2aaax1,,xn1axn(n1,2,)212

求极限n

limxn。定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)（2）n则极限

10.夹逼定理 limynan，nlimzna

nlimxn一定存在，且极限值也是a，即

limxna。

利用极限存在准则求极限 例20 已知x12,xn12xn,(n1,2,)，求nlimxn

limxnx{x}解：易证：数列n单调递增，且有界（0

xn12xn两边求极限，10 得：

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）所以nlimxn2lim(1。

1n21n212例21 nn1n212nn 11n2nnn21)2解：易见：nnn22limnnn2因为n1limnn112，nn21

1n22lim(所以由准则2得：

n11nn2)1。

9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法

对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合运用，往往能化简运算，收到奇效。

11.泰勒展开法

12.利用定积分的定义求极限法

积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

8.利用复合函数求极限

十、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是：若级数些极限nlimf(n)un1n收敛，则nlimun0，故对某，可将函数

f(n)作为级数n1f(n)的一般项，只须证明此技术收敛，便有nlimf(n)0。n!例nnn lim

十一、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例求nlim(11332n1)333

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方快于 x！快于 指数函数

快于

幂数函数

快于

对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

读书的好处

1、行万里路，读万卷书。

2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷，下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文

5、少壮不努力，老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿

7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

8、读书要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。

10、一日无书，百事荒废。——陈寿

11、书是人类进步的阶梯。

12、一日不读口生，一日不写手生。

13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基

14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游

15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德

16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿

17、学习永远不晚。——高尔基

18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向

19、学而不思则惘，思而不学则殆。——孔子

20、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。——培根