选修23随机变量及其分布知识点总结典型例题_随机变量及其分布总结

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2-3随机变量及其分布

要点归纳离散型随机变量及其分布列

一、1．(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：

XPx1p1x2p2……xipi……xnpn我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(4)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②pi＝1.i＝1n(5)常见的分布列：两点分布：如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率.XP01－p1p两点分布又称0－1分布，伯努利分布． 超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝nkCkMCN－Mk)＝，k＝0，1，2，…，m，即 CnN－XP0n0C0MCN－M CnN－1n1C1MCN－M CnN－……mnmCmMCN－M nCN－

其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．二项分布及其应用2．(1)条件概率：一般地，设A和B是两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P（AB）为在事件A发生的条件下，事件B发生P（A）的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．(2)条件概率的性质：①0≤P(B|A)≤1；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；

③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)事件的相互独立性：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．如果事件A与B相互独立，那么A与－B，－A与B，－A与－B也都相互独立．(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(5)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．3．离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，D（X）为i＝1n

随机变量X的标准差．(2)均值与方差的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．②二项分布：若随机变量X～B(n，p)，则均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．

(2)正态曲线的特点： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值σ1； 2π④曲线与x轴之间的面积为1.(3)μ和σ对正态曲线的影响：①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则． 专题一条件概率1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，解得P(B|A)＝ P（AB）.P（A）(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数 n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事 n（AB）件数n(AB)，得P(B|A)＝.n（A）

2．解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”(1)求概率的步骤是：第一步，确定事件性质；第二步，判断事件的运算；第三步，运用公式．(2)概率问题常常与排列、组合知识相结合．

【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)＝A25＝20.1根据分步乘法计数原理，n(A)＝A1×A34＝12.n（A）123于是P(A)＝＝＝.n（Ω）205

专题二相互独立事件的概率求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进1．行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提2．(1)若A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．(2)若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立． 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加【例2】1工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，4乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的12概率为，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.129(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．

专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几1．何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关2．概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在3．均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．

【例3】 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加15次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时3间间隔恰当．每次测试通过与否互相独立．(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望． 1232416P(X＝5)＝C1··＋＝.433327故X的分布列为： X21 934 2744 27516 27P1441638E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.92727279

枣庄检测)某单位为了参加上级组织的普及消防知【例4】(2012·识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；2选手乙答对每题的概率都是，且各题答对与否互不影响．设3选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E(ξ)，E(η)；(2)求D(ξ)，D(η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？

ξ解(1)ξ的概率分布列为P11 523 531 5131所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.55522由题意，η～B3，，E(η)＝3×＝2，331013＝； 或者P(η＝0)＝C327321122P(η＝1)＝C13＝； 93322148323P(η＝2)＝C2＝；P(η＝3)＝C，33＝273393

专题四 正态分布

【例5】某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解 ∵考生成绩X～N(500，502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P＝(550＜X≤600)1＝[P(500－2×50＜X≤500＋2×50)－P(500－50＜X≤500＋250)] 1＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.2故考生成绩在550～600分的人数约为25 000×0.135 9 ≈3 398(人)．