孤立奇点、留数小结_留数孤立奇点

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孤立奇点、留数小结

洛朗级数展开中不含有负幂项可去奇点limf(z)C0,令f(z0)limf(z)可以使其解析zz0zz0洛朗级数展开中含有m项负幂项,Cm0limf(z),缺点是无法判断是几阶极点zz01zzm阶极点g(z),其中g(z)在某U(z0)解析,且g(z0)0f(z)0m(zz0)定义判断1zz是的m阶零点0f(z)导数判断洛朗级数展开中含有无穷多项负幂项本性奇点limf(z)不存在(非)孤立奇点zz0洛朗级数展开中不含有正幂项可去奇点奇点limf(z)C0,令f()limf(z)可以使其解析zz洛朗级数展开中含有m项正幂项,Cm0f(z),缺点是无法判断是几阶极点zm阶极点limzz是1的m阶零点定义判断f(z)导数判断洛朗级数展开中含有无穷多项正幂项本性奇点limf(z)不存在(非)z11如：f(z)有奇点z0及z0，故z0不是孤立奇点n1nsin非孤立奇点z1如：f(z)sin有奇点z及znn，故z不是孤立奇点z按定义：f(z)在0zz0R展开为洛朗级数式中(zz0)1的系数C1，记作Res[f(z),z0]可去奇点：展开式中不含负幂项，C10Res[f(z),z0]lim(zz0)f(z)zz0一阶极点P(z0)Res[f(z),z0],其中P(z0)0，Q(z0)0，Q(z0)0Q(z0)留数m1按孤立奇点类型极点1dmlim(zz0)f(z)Res[f(z),z0]m1(m1)!zz0dzm阶极点：mn11dmnRes[f(z),z0]lim(zz)f(z)0mn1zz0dz(mn1)!本性奇点：按定义计算Res[f(z),z0]