可测函数小结_函数应用小结

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可测函数

（一）可测函数的定义

1、在可测函数定义的学习过程中，对于可测函数的表示：a∈R, 有{x | > a}可测，则f(x)可测 ；用简单间函数列来表示：有简单函数列{φn},f(x)满足limφn = f(x), 则f(x)可测；由鲁津定理得用连续函数逼近可测函数；n通过本章可测函数的学习，要把这三种关系透彻理解、掌握。

2、简单函数的引入对于学习讨论可测函数、L积分都有重要的意义。简单函数是常量函数、分段函数的进一步扩展。通过简单函数，对可测函数及L积分的讨论从简到繁、从特殊到一般过渡；要证明某个命题对于可测函数（或其一部分）成立，可先证明该命题对简单函数成立，再由极限过程过渡到一般可测函数。

3、可测函数列的等价条件。

（二）可测函数列的收敛性

由L测度建立的L积分理论中，零测度集不影响函数的可积性和积分值。实变函数中的L积分与数学分析中的R积分，有一个很重要的不同点，就是命题的成立引入了“几乎处处”的概念。

对于可测函数列的三种强度不等的收敛定义：几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛，要理解其意义与作用及相互关系。

可测函数列{fn(x)}处处收敛与依测度收敛虽然有很大区别，但仍有密切联系，主要表现在于：

（1）处收敛的函数列可能不是依测度收敛，依测度收敛的函数列仍右能不是处处收敛。（2）若{fn(x)}依测度收敛f(x)，则必有子列{fn i(x)}几乎处处收敛

于f(x)。

（3）几乎一致收敛函数列{fn(x)}一定依测度收敛于同一函数 ；反之，若{fn(x)}依测度收敛于f(x)，则存在子列几乎一致收敛函数f(x)。

（三）函数可测与连续的关系——鲁津定理

区间上的连续函数、单调函数、简单函数都是可测函数，所以可测函数类比连续函数类更广。鲁津定理给出了连续函数与可测函数的关系，表明用连续函数可以“逼近”可测函数，从而用我们比较熟悉的连续函数去把握比较抽象的可测函数，在某些情况下可以适当地把可测函数转换为连续函数。

函数可测与连续关系的主要结论有：（1）闭集上的连续函数可测；（2）任一可测集上的连续函数可测；

（3）f于E几乎处处有限可测，则存在闭集FE，m(E-F)

鲁津定理给出了可测函数的一种构造，定理所述的结论是使函数为可测的一个充分条件。鲁津定理的结论可作为可测函数的定义，由此可建立可测函数的另一种观点。