第二章小结（材料）_本章小结第2章

2020-02-28 其他工作总结下载本文

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第二章线性方程组的解法

学习小结

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班级 2 学号

一、本章学习体会

通过本章的学习，主要学习了线性方程组的解法，即直接法和迭代法。直接法有高斯列主元消去法和顺序消去法，应用以前学习的知识就可以解决。而Doolittle分解法和Crout分解法则是新学的。对于解低阶方程组方法有简单了一步。迭代法有Jacobi.G-S和SOR，每个方法都有它的条件。学习模糊的就是带状的解法，有点看不懂。

二、本章知识梳理

2.1 Gau消去法

消去法由消元和回带两个过程组成。2.1.1 顺序Gau消去法

(k)定理2.1 顺序Gau消去法的前n-1个主元素akk(k1,2,...,n1)均不为零的充分必要条

(1)a11...a1(1)k...0,(k1,2,...,n1)

(k)...akk件是方程组的系数矩阵A的前n-1个顺序主子式Dk...(1)ak1顺序高斯消去法的数值稳定性是没有保证的。2.1.2 列主元素Gau消去法

定理2.2 设方程组的系数矩阵A非奇异，则用列主元素Gau消去法求解方程组时，各个)列主元素ai(kk,2,...,n1)均不为零。k(k1列主元素消去法具有良好的数值稳定性。

2.2 直接三角分解法

2.2.1 Doolittle分解法(单位下三角+上三角)与Crout分解法(下三角+单位上三角)定理2.3 矩阵A[aij]nn(n2)有唯一的Doolittle分解的充分必要条件是A的前n-1个顺序主子式Dk0,(k1,2,...,n1)。

推论矩阵A[aij]nn(n2)有唯一的Crout分解的充分必要条件是A的前n-1个顺序主子式Dk0,(k1,2,...,n1)。2.2.2 选主元的Doolittle分解法定理2.4 若矩阵ARnn非奇异，则存在置换矩阵Q，使QA可做Doolittle分解。

2.2.3 三角分解法解带状线性方程组

定理2.5(保带状结构的三角分解)设A[aij]nn是上半带宽为s、下半带宽为r的带状矩阵，且A的前n-1个顺序主子式均不为零，则A有唯一的Doolittle分解

a1,s1a11.........ar1,1...A.........an,nr1l2,11...............lr1,1.........ln,nr...ln,n1...ans,n.........a

u11u12...u1,s1...............uns,n............un1,n1unn为节省空间，用C(m,n)存储A的带内元素，其中m=r+s+1，并且aijcijs1,j。2.2.5 拟三对角线性方程组的求解方法

d1a1c1dac222.........A.........dn1an1cn1dnancnp11q1dp122...............dn1pn1rr...rrr2n2n1n12.3 矩阵的条件数与病态线性方程组

2.3.1 矩阵的条件数与线性方程组的性态

q2.........qn21s1s2...sn2sn11 定义对非奇异矩阵A，称量||A||||A1||为矩阵A的条件数，记作cond(A)||A||||A1||。矩阵A的条件数与所取的矩阵范数有关，常用的条件数是

cond(A)||A||||A1||，cond(A)2||A||2||A1||2

性质1 对任何非奇异矩阵A，cond(A)1。

性质2 设A是非奇异矩阵，k0是常数，则有cond(kA)cond(A)。

性质3 设A是非奇异的是对称矩阵，则有cond(A)2模为最大和模为最小的特征值。

性质4 设A是正交矩阵，则有cond(A)21。2.3.2 关于病态线性方程组的求解问题（1）采用高精度的算术运算。

1，其中1和n分别是矩阵A的n（2）平衡方法（行平衡，取每行绝对值最大数的倒数组成对角阵，乘在原方程左右两边）。（3）残差校正。

2.4 迭代法

2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性

x(k1)Gx(k)d(k0,1,...)

定义设nn矩阵G的特征值是1,2,...,n，称(G)max|i|为矩阵G的谱半径。

1in定理2.9 对任意的向量d，迭代法收敛的充分必要条件是(G)1。定理2.9 如果矩阵G的某种范数||G||

*||G||k||xx||||x(1)x(0)||1||G||

||G||||x(k)x*||||x(k)x(k1)||1||G||(k)2.4.2 Jacobi迭代法 ADLUx(k1)D1(LU)x(k)D1b(k0,1,...)GJD1(LU)定理2.10 Jacobi迭代法收敛的充分必要条件是(GJ)1。定理2.11 如果||GJ||1，则Jacobi迭代法收敛。引理2.1 若矩阵ARnn是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则A是非奇异矩阵。

定理2.12 如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用Jacobi迭代法求解必收敛。

2.4.3 Gau-Seidel迭代法

ADLUx(k1)(DL)1Ux(k)(DL)1b(k0,1,...)GG(DL)1U定理2.13 GS迭代法收敛的充分必要条件是(GG)1。定理2.14 如果||GG||1，则Jacobi迭代法收敛。

定理2.15 如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用GS法求解必收敛。

定理2.16 如果方程组的系数矩阵A是正定矩阵，则用GS法求解必收敛。2.4.4 逐次超松弛迭代法

A1DL(111)DUx(k1)(GS(实际使用的形式x11DL)1[(1)DU]x(k)(DL)1b(k0,1,...)

11DL)1[(1)DU](k1){D1Lx(k1)[(1i11)ID1U]x(k)D1b}(k0,1,...)

n它的分量形式是x(k1)i{j1aijaiix(k1)j(1)x1(k)iji1aaijiix(jk)bi}(k0,1,...)aii定理2.17 SOR方法收敛的充分必要条件是(GS)1。定理2.18 如果||GS||1，则SOR方法收敛。定理2.19 SOR方法收敛的必要条件是02。

定理2.20 如果方程组的系数矩阵A是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用01的SOR方法求解必收敛。

定理2.21 如果方程组的系数矩阵A是正定矩阵，则用02的SOR方法求解必收敛。

实系数二次方程xpxq0的两个根之模均小于1的充要条件是： 2|q|1,1pq0,1pq0

A为正定矩阵A的各阶顺序主子式全大于零。

三、设本章思考题，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？

解释：（a）谱半径ρ（B）〉，Jacobi迭代法不收敛；而矩阵A对称正定，故Gau-Seidel迭代法收敛。(b)谱半径ρ（B）〈1，Jacobi迭代法收敛；Gau-Seidel迭代法不收敛。

四、本章测试题

讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程组AX=B时的收敛性。如果收敛，比

302较那种方法收敛较快，其中A=021.212解：对雅可比迭代法，迭代矩阵

00Bj= D1(LU)=00112231，(Bj 20故雅可比法收敛。

对于高斯-赛德尔迭代法，迭代矩阵

20033000021GG(DL)1U=020001=00