小结函数对称性_函数对称性总结
小结函数对称性由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“函数对称性总结”。
小 结 函 数 对 称 性
数学组
刘宏博
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来小结与函数对称有关的性质.一、函数自身的对称性
定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是
f(x)+ f(2a－x)= 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证.（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0).故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征.推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：
f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：
f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.二、不同函数之间的对称性
定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称.定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称.②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称.③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称.定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上.同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立.推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称.三、函数对称性应用举例 例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）
(B)是偶函数，但不是周期函数
(D)是奇函数，但不是周期函数(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数
解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数.故选(A)
例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)= －1x，则f(8.6)= _________
2解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3 例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）
(A)
0.5(B)－0.5
(C)1.5
(D)－1.5 解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直线x = 1是y = f(x)对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数.∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故选(B)
高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8. f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于 x=(a+b)/2 对称 f(a+x) = -f(a-......
函数的对称性和周期性株洲家教：***函数的对称性和周期性一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系......
刀豆文库小编为你整合推荐4篇初三数学函数对称性的探究课件，也许这些就是您需要的文章，但愿刀豆文库能带给您一些学习、工作上的帮助。......
初三数学函数对称性的探究课件一、 函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a-x) = 2b证明：(必要性)设点P(x ,y)是y = f......
函数应用学案一、深刻领会函数与方程的关系，才能有效的解决函数与方程的问题，而函数的零点与方程的根的关系，二分法求方程的近似解是基础．1．方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数......
