大一高等数学总结_大一高数心得总结
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第一讲 函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质
函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续 函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.（等价小量与洛必达）
2.已知
（洛必达）
3.（重要极限）
4.已知a、b为正常数，（变量替换）
5.解：令6.（变量替换）
7.已知在x=0连续，求a
解：令
（连续性的概念）
三、补充习题（作业）
1.（洛必达）
2.（洛必达或Taylor）
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题
3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
算
1.决定，求
2.决定，求
解：两边微分得x=0时，将
x=0代入等式得y=1
3.决定，则
B.曲线切法线问5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足题
f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求，等式取
x->0的极限有：f(1)=0
C.导数应用问题
6.已知，求点的性质。
解：令，故为极小值点。
7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域
8.求函数的单调性与极值、渐进线。
解：，D.幂级数展开问10.求题
解：
=E.不等式的证明
11.设，证：1）令
2）令F.中值定理问题
12.设函数
具有三阶连续导数，且，求证：在（-1，1）上存在一点
证：
其中
将x=1，x=-1代入有
两式相减：
13.，求证：
证：
令
令
（关键：构造函数）
三、补充习题（作业）
1.2.曲线
3.4.证明x>0时, 证：令
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