大一高等数学总结_大一高数心得总结

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第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）

几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）

2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系

夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

3.连续 函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）

（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求

（6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.（等价小量与洛必达）

2.已知

（洛必达）

3.（重要极限）

4.已知a、b为正常数，（变量替换）

5.解：令6.（变量替换）

7.已知在x=0连续，求a

解：令

（连续性的概念）

三、补充习题（作业）

1.（洛必达）

2.（洛必达或Taylor）

第二讲 导数、微分及其应用

一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）

会求平面曲线的切线与法线方程

2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理

会用定理证明相关问题

3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图

会计算曲率（半径）

二、题型与解法

A.导数微分的计基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

算

1.决定，求

2.决定，求

解：两边微分得x=0时，将

x=0代入等式得y=1

3.决定，则

B.曲线切法线问5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足题

f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。

解：需求，等式取

x->0的极限有：f(1)=0

C.导数应用问题

6.已知，求点的性质。

解：令，故为极小值点。

7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。

解：定义域

8.求函数的单调性与极值、渐进线。

解：，D.幂级数展开问10.求题

解：

=E.不等式的证明

11.设，证：1）令

2）令F.中值定理问题

12.设函数

具有三阶连续导数，且，求证：在（-1，1）上存在一点

证：

其中

将x=1，x=-1代入有

两式相减：

13.，求证：

证：

令

令

（关键：构造函数）

三、补充习题（作业）

1.2.曲线

3.4.证明x>0时, 证：令