函数解析式求法总结及练习题_函数解析式的求法习题

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函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例

1设解：设

则

xx22xx42，解得：，点M(x,y)在yg(x)上，yxx． yyy6y32f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x)．

把xx42代入得：6y(x4)(x4)．

y6yyx27x6，g(x)x27x6． f(x)axb(a0)，则 f[f(x)]af(x)ba(axb)ba2xabb2整理得

a2a4，a2　或 ． b3b1abb

3五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得

函数解析式．

f(x)2x1 或 f(x)2x3．

二、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域． 时，常用配凑法．但要注意所求函数

1f(x)满足f(x)2f()x,求f(x)．

x11解 f(x)2f()x

①

显然x0,将x换成xxx2解① ②联立的方程组，得：f(x)．

33x例

5设例6 设，得：

11f()2f(x)

②

xx11f(x)x22(x0)，求 f(x)的解析式． xx11122解：f(x)(x)2，x2，f(x)x

2(x2)．

xxx例2

已知

三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例

3已知解：令t1,试求f(x)和g(x)的解析式 x11解 f(x)f(x),g(x)g(x)，又f(x)g(x) ①，用x替换x得：

x111

1f(x)g(x)，即f(x)g(x)②，解① ②联立的方程组，得f(x)1，g(x)22x1x1xxx11小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f()；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换

xf(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题

具体化、简单化，从而求得解析式．

例7

已知：f(x1)x2x，求f(x1)．

x1，则t1，x(t1)2 ．

f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)．

f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，f(x1)x2x，f(t)(t1)22(t1)t21,f(x)x21(x1)，f(x1)(x1)21x22x(x0)．

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数

解对于任意实数x、y，等式

不妨令x再令

0，则有f(y)f(0)y(y1)1y(y1)y2y1．

yx 得函数解析式为：f(x)x2x1．

yx2x与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式．

例5：已知

f(0)1,f(ab)f(a)b(2ab1),求f(x)。

解：设M(x,y)为yg(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(2,3)的对称点．

解析：令a0,则

f(b)f(0)b(1b)b2b

1令bx

则f(x)x2x1

小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条

件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式． 例8

设求

8．（1）若

（五）．特殊值代入法

9．若

f(x)f(x1)1x,求f(x).（2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).xf(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对任意的N a,b 都有f(a)f(b)f(ab)ab，f(x)

f(xy)f(x)f(y),且

f(1)2，求值 解f(a)f(b)f(ab)ab，a,bNf(x)f(1)f(x1)x，不妨令

ax,b1，得：

f(2)f(3)f(4)f(2005).f(1)f(2)f(3)f(2004)

10．已知：

（六）．利用给定的特性求解析式.11．设 又f(1)1,故f(x1)f(x)x

1①

n(n1)，2令①式中的x＝1，2，„，n－1得：f(2)f(1)2，f(3)f(2)3，，f(n)f(n1)n 将上述各式相加得：



三、练习

（一）换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.2．若

（二）．配变量法3．已知

（三）．待定系数法5．设求

6．设二次函数

f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)

f(n)f(1)23n，f(n)123nf(x)121xx,xN 22f(x)是偶函数,当x＞0时, f(x)ex2ex,求当x＜0时，f(x)的表达式.1xf()x1x,求

f(x).12．对x∈R,达式.例

6、已知函数11f(x)x22xxf(x)满足f(x)f(x1),且当x∈[－1,0]时, f(x)x22x求当x∈[9,10]时f(x)的表, 求

f(x)的解析式.4．若f(x1)x2x,求f(x).f(x)是一元二次函数, g(x)2xf(x),且g(x1)g(x)2x1x2,f(x)对于一切实数x,y都有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0。(1)求f(0)f(x)与g(x).的值；(2)求

f(x)的解析式。

f(x)满足f(x2)f(x2),且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的表达式.（四）．解方程组法 7．设函数求

1f(x)是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式3f(x)2f()4x,x f(x)的解析式.练 习

求函数的解析式

例1．已知f(x)= x22x，求f(x1)的解析式．（代入法 / 拼凑法）

变式1．已知f(x)= 2x1，求f(x2)的解析式．

变式2．已知f(x+1)＝x22x3，求f(x)的解析式．

例2．若f [ f(x)]＝4x＋3，求一次函数f(x)的解析式．（待定系数法）

变式1．已知f(x)是二次函数，且fx1fx12x24x4，求f(x)．

例3．已知f(x)2 f(－x)＝x，求函数f(x)的解析式．

（消去法/ 方程组法）

变式1．已知2 f(x) f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式．

变式2．已知2 f(x)f 1x＝3x，求函数f(x)的解析式．

例4．设对任意数x，y均有fxy2fyx22xyy23x3y，求f（x）的解析式．（赋值法 / 特殊值法）

变式1．已知对一切x，y∈R，fxyfx2xy1y都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式．