考研高数全册小结论_考研数学总结高数篇

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文登精编的高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxe1ln[1x]arcsinxarctanx(2).1cosxax12x2(3).(1x)1ax(4).a1xlna(5).1n1x(6).n1x1xnxnxlna0|x|x

(7).loga(1x)0x2时2时122．

x2sinxxtanx1cosx3．如果limU1,limV则limUVelim(U1)V

4.f(x)f(x)2f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数

2直线L:ykxb为函数yf(x)的渐近线的充分必要条件为：5．klimf(x)xxblim[f(x)kx]x这里的包括和

6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)(x)'12x11()'2xx(x)'x(1lnx)

xx7.关于n阶导数的几个重要公式(sinx)(n)sin(xnn2)n2)(cosx)(n)cos(xnn2)n2)(sinkx)(x)(e)xn(n)(n)ksin(x(coskx)(a)(x(n)(n)kcos(xxnn!e(n)x(a)(lna))(n)

n1(n)1txn!(tx)(1)n1(1tx)(1)n!(tx)n1n[ln(tx)](n)(n1)!n(tx)人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 8.泰勒公式(用来求极限)sinxxe1xaxx33!x2xx55!3o(x)o(x)x236cosx1x2!2xx4!24o(x)x352!3!ln(1x)xa(a1)(a2)3!xo(x)cotx1xx33323o(x)3(1x)1axa(a1)2!3 tanxxx33o(x)16xxo(x)333o(x)x16xo(x)33

arcsinxxarctanxxarccosx2323o(x)xo(x)333tan(tanx)xsin(sinx)x13xo(x)339． 重要不定积分

(sinx)dx(2n1)cosx(sinx)secxdx2n1(secx)(2n2)dx(sinx)(cosx)(2n1)(2n1)(secx)2nd(tanx)(2n1)

(tanx)(cosx)1dx(2n1)sinxx2[1(cotx)](cotx)(2n1)2ndcotx

1cosxdxtanC

1sinxn1dxtanxsecxC21tanx2C

(tanx)dx(cotx)n(tanx)(cotx)n(secx)(secx)(cscx)(cscx)22dx(tanx)nd(tanx)1(tanx)n2

22dxndx(cotx)d(cotx)1(cotx)2

tanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|C

secxdxln|secxtanx|Ccscxdxln|cscxcotx|Cx214

(sinx)dx(cox)dx2214sin2xCx2

sin2xC人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 (tanx)dxtanxxC(cotx)22

dxcotxxCxxdx2adx221aarctanxaCxa|C22xadx22ln|x12aln|adx22xaxaxa

|Cax22arcsin2Ceeaxdx222a2aarcsin2xax22axC22

2xadx2e2ln|xax2xa|x2xaC22axcosbxdxsinbxdxabe2ax(acosbxbsinbx)C

(asinbxbcosbx)Caxab210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

SS'w0sinwxdx2w1w

3w23wsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

（2）aaa0f(x)dx[fx()fx(dx)]0(如果fx(为)奇函数a0))2f(xdx)如(果fx(为)偶函数coskxdx0sinkxdx0(coskx)

2dx(sinkx)dx2人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 设k,lN,且k则,l0(3)coskxsilnxdxcolsxdxsilnxdxcoskx

00sinkxaTa(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).f(x)dxT0Tf(x)dxT02T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx(5).特殊积分



00000eeeeu2dudx1a2(a0)wpwppw2222axptsinwtdtcoswtdtdx(p0,w0)(p0,w0)

ptsinxx2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)(1)20f(sinx)dx20f(cosx)dx20特别的2020(sinx)dxn20(cosx)dxn(2)0f(sinx)dx2nf(sinx)dx220nf(cosx)dx20特别的(sinx)dx20(sinx)dx2(cosx)dxn(3)(cosx)dx0n0(n为奇数)202(4)20(cosx)dxn（n为偶数）(n为奇数)(sinx)dxn04(5)2020(sinx)dxn（n为偶数）(n为奇数)(cosx)dxn04(6)(7)2020(cosx)dxnn（n为偶数）(sinx)dx(sinx)dxnn20(cosx)dx..................23122(n为正奇数)20n1n3n5nnn2n4n2n4n1n3n5

(n为正偶数)(8)0xf(sinx)dx20f(sinx)dx人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

(1)limnn!nnn0(2)limx0nn(3)limxlnx0

(4)limx1x0x(5)limannn!014.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意

若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大1-1x为有理数x为无理数

16．设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x-3x+2)的可导的点显然为1,22

17.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)ff(n)(n1)(x0)0(x0)0(2n)(n)(1)n2k且f(2)n2k且f(3)n=2k+1(x0)0f(x0)为极大值(x0)0f(x0)为极小值f(x0)不是极值点

(n)18.拐点的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x0)f'''(x0)f则(x0,f(x0))为拐点(n1)(x)00，fn((x)00)19.用求导法判断数列的单调性 人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 设An1f(An),AnI则：(1)(2)A2A1A2A1若f(x)在区间I上单调递增{An}{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmn(x0)

o(x)mnn(2)当0nmo(x)o(x)o(x)(3)当0nmo(x)xmnmo(xmn)

注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xo(x)o(xmnnmn))o(x)o(x)o(xmn23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO111之和：lim(nnnn1n)1其(中1有无穷多个n))

之积：取knn!10n(其中nk,3n1,2,3n

!)显然1nn!n!n!n!n(!)2nnnn(24．反三角

(1)arctxan1arctanx2t(2)arcsin(sint),0t

2

t求A(b),2t25．

a2a1|xb|dx的最小值a1a22时Amin(b)14

(a1a2)2结论：当b 人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 ba26.(xab2)dx0

27．lnxdx1

0128．10x(1x)dx19mn10x(1x)dxnm作用：x(1x)dx010

x(1x)dx9这下就好求了29．

若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxabba1f(abx)dxbabaf(x)dx2[f(x)f(abx)]dx特别的当a0时，有如下推论：（1）f(x)dx0bb0

f(bx)dx（2）f(x)dx0b12b0[f(x)f(bx)]dx若f(x)在[a,b]上可积,则：30．0f(x)dx01x211f()dxx2C

0[f(x)1x2 1f()]dxx31．f(x)f'(x)dxf(x)2232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续可微偏导连续 

有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx220f(sinx)dx进行推广：设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：人人网2012年考研资源共享小组

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n2n2（1）n为奇数 n为偶数babaxf(sinx)dxxf(cosx)dxbabaf(sinx)dxf(cosx)dx（2）若f(x)为偶函数，则

baxf(sinx)dxxf(cosx)dxn2n2babf(sinx)dxf(cosx)dxbaa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若f(-x,y)=f(x,y)若f(-x,y)=-f(x,y)例一2

Lf(x,y)dsf(x,y)ds222L2f(x,y)ds2L0I=(xyx)ds,L为y=axLLL解：I=(xyx)dsxydsxds02LxdsL22222acosad02222a3

2例二IL(xy)ds,L为xyR32解：IL(xy)ds=0自己体会一下，为什么？）xds+yds=0+0=（LL33（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)例一解:I例二解：I

LP(x,y)dx2LP(x,y)dx2LP(x,y)dx0Rx,方向为从左到右22Lxy(ydxxdy),其中L为y22LLLxy(ydxxdy)xydxxydy0Lxydy0(这要用到下面B的结论)2222222

ILxydy,其中L为双纽线的右半支：(x+y)=a(x-y),x0的逆时针方向2由于图像关于x轴对称，则I0 人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 B.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义且在左半平面部分L1与右半平面部分L2方向相反，则：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)LP(x,y)dy0(上面讲到的就是用的这个结论)LP(x,y)dy2P(x,y)dyL1

注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相反对于关于x轴对称的情况就不写了，其实是一个道理！一定要把A,B好好的比较看看两者之间的区别与联系例一ILx|y|dx,其中L为yx上从A(1,1)到B(1,1)的一段弧2解：L关于x轴对称且方向相反且被积函数x|y|为y的偶函数故I=0例二IdxdyABCD|x||y|,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)为顶点的正方形的边界线，方向为逆时针方向解：I

dxABCD|x||y|+dyABCD|x||y|1|x||y|第一部分积分：曲线关于x轴对称，且方向相反，而函数是y的偶函数，故积分为0，同理第二部分积分也为0故I=0(3)对面积的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz平面对称，f(x,y,z)在上连续，则有：当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时2是中x0的一半f(x,y,z)ds0f(x,y,z)ds=2

2f(x,y,z)ds对于关于zox,xoy的平面对称有类似的性质例一I(xyz)ds,其中为球面xyza上z（h0

解：关于xoz面对称，故Ia4人人网2012年考研资源共享小组

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(4)对坐标的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz面对称，函数p(x,y,z)在上连续，一半，则：当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时2是中x0的f(x,y,z)dydz0f(x,y,z)dydz=22f(x,y,z)dydz 例一Ixyzdxdy,其中是球面xyz1的外侧在x0,y0222的部分。解：关于xoy面对称，故I例二I=xyzdxdy22xyzdxdy25

2xdydzydzdxzdxdy,其中为曲线弧段z=y(x0,1z4)222绕z轴旋转所成的旋转曲面的非封闭侧。解：显然曲面关于yoz,zox面对称，故Izdxdy212

36．轮换对称性在积分计算中的应用举例

1.设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，D对坐标x,y具有轮换对称性，则：Df(x,y)dxdyDf(y,x)dxdy

何为轮换对称性：将x,y互换后D不变

例一I(3x2y)dxdy,其中D为xy2与两坐标轴围成D解：D关于x,y具有轮换对称性，则:I例二I2(3x2y)dxdy=D(3y2x)dxdyD52(xy)dxdy5xdxdyDD203

22(yx)dxdy222xyR解：I2(yx)dxdy22222(xy)dxdyI,故I0222xyRxyR人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 2.设函数f(x,y,z)在空间有界闭区域上连续，对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y,z)dvf(y,x,z)dv2222例一求(xyz)dv,为x0,y0,z0,xyzR解：由于积分区域关于x,y,z具有轮换对称性，则：xdv=ydvzdv(xyz)dv3zdv223162R24例二求Ihh0）围成的区域(zxy)dv,为zxy和z（解：积分区域关于x,y具有轮换对称性I(zxy)dv22(zyx)dv22122zdv3h3

3.设L是xoy面上一条光滑的曲线弧，L对坐标x,y具有乱换对称性，f(x,y)在L上连续，则：Lf(x,y)dsLf(y,x)ds22232例一IxL3ds,L为星形线xy3a3解：显然L对x,y具有轮换对称性，则：223dsydsL2I例二xL31232(x2L2y3)ds22122253a3ds3aL求(xz)ds,F是圆周xyzR,xyz0F解：F关于x,y,z具有轮换对称性，则：xds=yds=zds,F2FF222xds=yds=zdsFFF2故(xz)dsF13(xF2yz)ds213(xyz)dsFR23dsF2R33

4.设L是xoy面上一条光滑的或者分段光滑的有向曲线弧，L对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y)在L上连续，则：LLf(x,y)dsf(y,x)dsL

或者f(x,y)ds+f(y,x)ds=0L人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 例一Iydxxdy,L为xyR上A(R,0)到B(0,R)的一段弧LL222222解：L对坐标x,y具有轮换对称性，故ydxxdy=0例二I33ydxydx,L为双纽线(xy)2axy位于第一象限部分L

取逆时针方向22解：L关于x,y具有轮换对称性，则y3dxx3dy=0L5.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：例一f(x,y,z)dsf(y,x,z)dsI解：(x212y214z)ds,:xyzR222222Ixds2(x122yds1422zds121473212yz)ds(1)zds2(1例二I解：11)43(xyz)ds222222R24(axbycz)ds,:xyzR位于第一挂限部分xdsydszds14

I(abc)zdsR(abc)36.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：

f(x,y,z)dydzf(y,x,z)dzdx人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 例一I(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,为zxy22(0zh)的外侧解：关于x,y具有轮换对称性，则：(yz)dydz=(xz)dxdz(xy)dxdy(yx)dydx0xydydzyzdzdxzxdxdy,为平面xyz1位于第一挂限的外侧所以I0例二I解：关于x,y,z具有轮换对称性，则：xydydzzydydx18zxdxdyI3xydydz

37.广义的罗尔定理

设f(x)满足：(1)在区间(a,)上连续(2)在区间(a,)内可导(3)limf(x)limf(x)xax

则：a使得f'()038.需要记忆的反例

(1)(2)f(x)|x|在x0处不可导f(x)1f(x)0x0x0在x0点不可导应用：设f(0)0,则f(x)在x0点处可导的充分必要条件为:(A)lim(C)limf(1cosh)hh2存在存在h0(B)limf(1e)hhh存在存在h0f(hsinh)2h0(D)limf(2h)f(h)h0用(1)检验AC,用(2)检验D,答案为B人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707(1)若','且lim则：()('')(2)若','且lim则：()('')139.1

40.特别要注意的地方

设f(x)为(,)上的连续，函数F(x)为f(x)的一原函数，则：(1)f(x)为奇函数f(x)任意原函数F(x)为偶函数(2)f(x)为偶函数f(x)的原函数只有一个是奇函数,即为f(t)dt0x(3)f(x)任意原函数F(x)为周期函数f(x)为周期函数(4)f(x)以T为周期的函数且T0

f(x)dx0f(x)任意原函数F(x)以T为周期(5)函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系

41.几个极限之间的关系

1.若limanan则lima1a2annnna2.若limana且an0n则lim则limnna1a2anaanaanan1a3.若limanan1na且an0nn

n但要注意：若limnana且an0，不能推出lim反例：an2(n为偶数)=3(n为奇数)

42.函数与其反函数图像交点问题

函数与其反函数图像交点有如下两个结论：(1)设f(x)是增函数，其反函数为f(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点必在函数yx上(2)设f(x)是减函数，其反函数为f(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点不一定都在函数yx上例如：yx2,其反函数就是其本身11

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http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 43．阶乘不等式

阶乘不等式在极限证明中的应用(1)设n为自然数，则(应用：证明limn!nnnnnn)n!e()e2n0nne()n!n!2e,n时，e0，证明:nlim0nnnnnnn22n证明limannn!0(a为任意实数)证明:a0，显然成立a0,0|aen|a|enn||a|()()n!nnn|a|e|a|enn时，0,()0nn根据夹逼准则：lim(2)一些不常用的，可以记忆玩玩1设p2且p为实常数，则n!(2当n4时，n!(n)。nlnn。annn!n0np)p

3当n2时，则n!(lnn)

44．中值定理

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http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 罗尔定理yf(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导(3)f(a)f(b)在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()0注意：该定理的条件只是充分的，本定理可以推广为：yf(x)在区间(a,b)内可导,limf(x)limf(x)xaxb

在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()0拉格朗日定理yf(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()f(b)f(a)ba

柯西定理f(x)及F(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导(3)区间(a,b)内F'(x)0在区间(a,b)内至少存在一点使得f(b)f(a)F(b)F(a)f'()F'()

45．需注意的地方

可积与连续之间的关系1.闭区间上的连续函数一定是可积的；2.可积函数不一定是连续的，但是一定有无穷多个处处稠密的连续点可积与存在原函数之间的关系1.f(x)存在原函数，但其不一定可积，例如f(x)1x,x(0,)

2.f(x)在[a,b]上可积，但f(x)不一定存在原函数，例如： 人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 46．用泰勒公式分解既约分式

用泰勒公式分解既约真分式(以下只给出结论)设P(x)Q(x)是既约真分式，Q(x)在复数范围内可以分解为(xa1)1(xa2)2(xar)r,则nnn其能唯一分解为：P(x)Q(x)[b11n1(xa1)bi1b12n11(xa1)bi2b1n1(xa1)bini][b21n21nr(xa2)b22n212nr1(xa2)b2n2(xa2)br][j(xai)ni(xai)ni1(xa1)][brbrnr(xar)(xar)(xar)]其中bi(i1,2,,r;j1,2,ni)都是待定的常数设fi(x)例一P(x)(xa1)1(xa2)2(xai1)将3x(x1)(x1)2nnni1(xai1)ni1(xar)nr,且bijfi(j1)(ai)(j1)!分成部分分式3x,则f1(1)3434,f2(1)2(x1)2解：令f1(x)f2(x)例二将(x1)3xx13x2,则f2'(1)=3[1321](x1)(x1)24x1x12x7x(x1)(x3)分成部分分式,f1(0)f2(1)94112112(x3)73解：f1(x)f2(x)f3(x)2x7(x1)(x3)2x7x(x3)2x7x(x1),73x,f3(3)94(x1)2x7x(x1)(x3)=由此可见此法对分母都是一次时特别简单例三将9x24x48x(x1)(x2)3432分成部分分式2解：f1(x)f2(x)f2'''(2)3!39x24x48x(x2)324,f1(1)1,f2(2)24,f2'(2)12,f2''(2)2!9x24x48x(x1)12

69x24x48x(x1)(x2)41x124(x2)412(x2)36(x2)21x2人人网2012年考研资源共享小组

http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 47．求不定积分的几种特殊技巧 求定积分的几种特殊技巧1.定义在对称区间[a,b]上的任何函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和f(x)f(x)2f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数22.f(x)定义在对称区间[a,-a]上f(x)为奇函数时，f(x)为偶函数时，2x2aaf(x)dx0f(x)dx2f(x)dx0aaa(1)求定积分xln(1e)dx(x)f(x)f(x)2x22xln(1e)xln(1e2xxx)xln(1e)x12x表示奇函数12x]dx2222xln(1e)dx=xln(1e)12x212xdx222[xln(1e)x2212xdx2020xdx1283ln(x1x)1x22(2)求定积分1dx2值得注意的是一眼看去ln(x1x)1x2不是奇函数，实际求一下发现它是奇函数3.巧用几何意义求定积分求ba(xa)(bx)dx(ba)(xa)(bx)(ba2)(x2解：被积函数f(x)ab2)是以(2ab2,0)为ba11ba222圆心，为半径的上半圆，上半圆的面积为S=r()(ba)22228根据定积分的几何意义，ba(xa)(bx)dx8(ba)24.前面我面有这样一个结论：xf(sinx)dx0ba20f(sinx)dx现在我们再给出特殊一点的式子：xf(x)dx?以下有结论：设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)关于xab2对称，则：baxf(x)dxab2baf(x)dx人人网2012年考研资源共享小组

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48．矩阵积分法

设ui(ui1)'vivi1dx(i1,2,)函数序列一：u0,u1,u2,un,函数序列二：v0,v1,v2,vn,一.形如xsinaxdx的积分函数序列一：u0x,u1nx函数序列二：v0sinax,v1nn1n,unn!cosax,vn(1)ann1asin[ax2n]函数序列一和函数序列二作为矩阵的一二行，构造一个辅助矩阵，就可以方便的求得结果求(x2x3)sin3xdxx2x3sin3x1cosx3333x226x19sin3x1276cos3x1810sin3x111132原式(x2x3)(cosx)(3x2)(sin3x)6x(cos3x)6(sin3x)392781cos3x(x2x3)3nnax13(3x2)92sin3x2x9cos3x227sin3xC注：按unvn1规则进行斜线相乘，每一项正负交替出现二.形如xcosaxdx，xedx的积分方法与上述一样三.形如eaxsinbxdx的积分2函数序列一：u0sinbx,u1bcosbx,u2bsinbx函数序列二：v0e,v1求e2xax1ae,v2ax1a2eaxsin3xdx的积分3cos3x12e2xsin3x9sin3xe2x14

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