数学中常用极限方法总结_求极限方法总结全

数学中常用极限方法总结由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“求极限方法总结全”。

【1】 忽略高阶无穷小方法。

很多极限看起来很复杂，而且也不好使用洛必达法则，但是如果忽略掉次要部分，则会很容易计算。

比如

再比如斐波那契数列，忽略掉比x低的无穷小项后为√x / √2x = 1/√2

忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要项后，可以求得lim a(n+1)/a(n)=(1+√5)/2

再比如 lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))当x->∞的时候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高阶无穷小 所以lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))= lim(x->∞)sinh(x)/2Cosh(x)

= lim(x->∞)(e^x-e^(-x))/ 2(e^x+e^(-x))= lim(x->∞)e^x / 2e^x =1

【2】 取对数与洛必达法则

洛必达法则是求极限的时候用的最多的方法，但是很多题目都会饶下弯子，需要先对代数式进行一些变形，否则计算起来会越来越烦，常见的的代换包括取对数，等价无穷小代换，省略高阶无穷小部分，在用完这些方法后，再使用洛必达法则，可以有效的解决这类问题。

比如

这个直接用等价无穷小代换后会因为损失了高阶无穷小导致结果不正确，取对数后就会化成容易计算的形式了 lim(x->∞)x^2*ln(1+1/x)1)/ 2t =-1/2 所以原式极限为e^(-1/2)

再比如 tanx ^(1/lnx)在x->0+的时候的极限 这个极限是0^∞的形式

直接取对数得 ln(tanx)/ lnx，现在是∞/∞的形式

用洛必达法则得 = x /(sinx cosx)= x/sinx * 1/cosx = 1 所以tanx^(1/lnx)在x->0+的时候的极限为e

【3】 常用等价无穷小

经常用到的等价无穷小有

(1)tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x)~ acsinh(x)~ x(x->0)(2)1-cosx ~ x^2/2(x->0)(3)e^x1 ~ ax(x->0)(6)esinx)/ x^3在x->0处的极限，这个可以使用多次洛必达求得，或提取sinx后用两个等价无穷小代换，也可以用tanx和sinx的级数代入求得 =(x+x^3/3 + O(x^4)(13 x^7)/210 + O(x^9)sin(tan(sin(tan(x))))在x=0处的幂级数展开为x + x^3/3 + x^5/302)/ x^2在 x->0处的极限 用泰勒公式就比较简单

√(1+x)~ 1+x/2x/2x^2/4(e x)/2 +(11 e x^2)/24 + O(x^3)(1+1/x)^x在x=0处的级数展开为1-x lnx +(1+(lnx)^2)x^2 + O(x^3)

【6】 中值定理

有些极限用常见的方法处理比较困难，但是可以很容易的看出这是某个函数在两个很近的点处的割线的斜率或两个点之间的面积，那么这个时候可以考虑使用微分中值定理或积分中值定理。

比如求sin(√(x+1)sin√x)/(√(x+1)-√x)所以lim(sin(√(x+1)arctan a/(x+1))在x->∞处的极限

令f(x)= arctan a/x那么存在x

由于x^2/(a^2+(x+1)^2)

再比如求(Pi/2arctanx = ∫ 1/(1+t^2)dt(积分限为[x,∞])所以存在x

【8】 利用定积分的数值公式

有些求和的极限用夹挤定理只能得到级数收敛，但不能求出具体的极限值，而一些题刚好是利用定积分的数值公式（主要是矩形公式）分解而来，这个时候可以考虑凑定积分的方式来对级数求和。

比如求

可以写成1/n ∑1/(1+(k/n)^2)

所以这个刚好是1/(1+x^2)在[0,1]上的定积分 所以极限为Pi/4

再如上面出现过的(1^k+2^k+...+n^k)/ n^(k+1)这个可以写成1/n ∑(i/n)^k

所以可以看成是 x^k在[0,1]上的定积分 所以极限是1/(k+1)

【9】 利用级数展开

某些涉及到求和的极限可能刚好是某个函数的级数展开的特殊值 比如交错级数 1-1/2+1/3-1/4+...这个刚好是ln(1+x)= xx^4/4 +...在x=1处的值 所以极限是ln2 而对于其他一些级数也可能是函数展开的特殊值 比如1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^ + 1/n^2 +...考虑正弦函数的无穷积展开为 sinx = x ∏(1-x^2/k^2Pi^2)取对数后求导数得

Cot[x] = 1/x1/4 + 1/7-1/11 +...(-1)^(3k+1)/(3k+1)+....也是可以计算出来的，结果留给你们算