高三数学知识点总结黄岗_高三数学知识点总结

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高中数学知识点总结

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C 中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1

若BA，则实数a的值构成的集合为1）3

（答：1，0，3.注意下列性质：

（1）集合a1，a2，„„，an的所有子集的个数是2n；

（2）若ABABA，ABB；

（3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

ax5xa

24.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3M，∴a·353aa·555a220的解集为M，若3M且5M，求实数a

05a1，9，25）30

∵5M，∴

5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和

“非”().若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若p为真，当且仅当p为假

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4）

10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定 义域是_____________。

（答：a，a）

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f

令tx1ex，求f(x).x1，则t0

2x

∴xt∴f(t)et

∴f(x)e21t1 x1x0 22x1

212.反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1x

如：求函数f(x)2xx0x0x0的反函数

（答：f1x1(x)xx1）

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a

f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

14.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）

如：求ylog1x2x的单调区间

2（设ux22x，由u0则0x2

且log1u，ux11，如图： u O 1 2 x

2当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

∴„„）

15.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大

3值是（）

A.0 B.1

C.2

D.3



（令f'(x)3xa3x2ax3a0 3

则xa3或xa3

由已知f(x)在[1，)上为增函数，则

∴a的最大值为3）

a31，即a3

16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2a221xx

如：若f(x)为奇函数，则实数a

（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a·2a22100

即0，∴a1）

又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)求f(x)在1，1上的解析式。

2xx41，（令x1，0，则x0，1，f(x)x24xxxx1

又f(x)为奇函数，∴f(x)24x1214

x2x4 又f(0)0，∴f(x)x2x41x(1，0)x0x0，1）

17.你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb

即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)

则f(x)是周期函数，2ab为一个周期

如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称

f(x)与f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与f(x)的图象关于原点对称

f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称

f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称

f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

yf(xa)左移a(a0)个单位

将yf(x)图象 yf(xa)右移a(a0)个单位yf(xa)b上移b(b0)个单位

 yf(xa)b下移b(b0)个单位

注意如下“翻折”变换：

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y y=log2x O 1 x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k0)y=b O’(a,b)O x x=a

（1）一次函数：ykxbk0

（2）反比例函数：y的双曲线。

b2

（3）二次函数yaxbxca0ax2a2b4acbb，顶点坐标为 ，对称轴x4a2a2a2kxk0推广为ybkxak0是中心O'(a，b)

4acb4a2图象为抛物线

开口方向：a0，向上，函数ymin4acb4a22

a0，向下，ymax4acb4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

axbxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yaxbxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式axbxc0(0)解集的端点值。

2②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

0b2

如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0 y(a>0)O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0

（4）指数函数：yaxa0，a1

（5）对数函数ylogaxa0，a1

由图象记性质！

（注意底数的限定！）

y y=a(a>1)(01)1 O 1 x(0

（6）“对勾函数”yxkxk0

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

y k O k x

1ap

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a1(a0)，ammn0p(a0)

annam(a0)，a1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0

logaMNlogMlogN，logaaaanM1nlogM a

对数恒等式：alogxx

对数换底公式：logab

21.如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

logcblogcalogambnnmlogab

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令xy0f(0)0再令yx，„„）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令xytf(t)(t)f(t·t)

∴f(t)f(t)f(t)f(t)

∴f(t)f(t)„„）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2„„

22.掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值：

（1）y2x32x4x3134x

（2）y

（3）x3，y2x2x3

，0， 设x3cos

（4）yx4

（5）y4x9x9x2，x(0，1]

23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l·R，S扇12l·R 1弧度 O R R 12·R）

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sinMP，cosOM，tanAT

y T B S P α O M A x

如：若80，则sin，cos，tan的大小顺序是

又如：求函数y12cosx的定义域和值域。

2

（∵12cosx）12222sinx0

∴sinx，如图：

∴2k54x2k4kZ，0y12

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

x1，cosxsin y x   O 2

ytgx 2

对称点为k，0，kZ

2 x的增区间为2k

ysin22，2kkZ 23kZ 2

减区间为2k，2k

图象的对称点为k，0，对称轴为xk

ycosx的增区间为2k，2kkZ

2kZ

减区间为2k，2k2kZ

图象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ

 ytanx的增区间为k2，kkZ 2

26.正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx

（1）振幅|A|，周期T2||

若fx0A，则xx0为对称轴。

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。

（2）五点作图：令x依次为0，（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

2，，32，2，求出x与y，依点

(x1)0

如图列出

(x)22

解条件组求、值

正切型函数yAtanx，T||

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：cosx

（∵x23，x，，求x值。62232，∴76x653，∴x654，∴x1312）

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数ysinxsin|x|的值域是

（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2）

29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式：

x'xha(h，k)

（1）点P（x，y） P'（x'，y'），则y'yk平移至

（2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0

如：函数y2sin2x图象？

（y2sin2x1横坐标伸长到原来的2倍1y2sin2x1 4421的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的 4个单位上平移1个单位42sinx1y2sinx1y2sinx 4左平移纵坐标缩短到原来的1倍2ysinx）

30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sincossectantan·cotcos·sectansin2cos0„„称为1的代换。22224

“k·2”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos97tansin2146sintancoscot，则y的值为

又如：函数y

A.正值或负值

sin

D.正值

sinB.负值

2C.非负值

（ycossincos1cos0，∵0）2coscossin1sin

31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

coscossinsin22sincos

sinsin令令22coscoscossinsincos2cossin tantantan1tan·tan 2cos112sin 22tan22tan1tan2cos 21cos22 1cos22sin

2bcos

asinabsin，tan22

ba

sincos2sin

4

sin3cos2sin

3

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

具体方法：

（1）角的变换：如，2„„ 2

2（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

如：已知sincos1cos21，tancos2sin23，求tan2的值。（由已知得：

又tansincos2sin2321，∴tan

2tantan1tan·tan212118）

∴tan2tan31·32

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

余弦定理：abc2bccosAcosA222bca2bc222

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）a2RsinAabc

正弦定理：2Rb2RsinB

sinAsinBsinCc2RsinC

S12a·bsinC

∵ABC，∴ABC

C，sin

∴sinABsinAB2Ccos 如ABC中，2sin

（1）求角C；

2AB2cos2C1

（2）若ab22c22，求cos2Acos2B的值。

2（（1）由已知式得：1cosAB2cosC11

又ABC，∴2cosCcosC10

∴cosC12或cosC1（舍）

322

又0C，∴C

b22

（2）由正弦定理及a22122c得： 3342

2sinA2sinBsinCsin

1cos2A1cos2B

∴cos2Acos2B3434）

33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinx，2，x1，12

反余弦：arccosx0，，x1，1

反正切：arctanx

34.不等式的性质有哪些？

（1）ab，c0acbcc0acbc2，，xR 2

（2）ab，cdacbd

（3）ab0，cd0acbd

（4）ab01a1b，ab0n1a1b

（5）ab0anbn，nab

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa

如：若21a21b0，则下列结论不正确的是（）

A.abB.abb D.abba2

C.|a||b||ab|

答案：C

35.利用均值不等式：

ab2aba，bR22ab；ab2ab；ab求最值时，你是否注

22意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

ab222ab2ab2ababa，bR



当且仅当ab时等号成立。

abcabbccaa，bR 22

2当且仅当abc时取等号。

ab0，m0，n0，则

babmam1anbnab4x

如：若x0，23x的最大值为

（设y23x42212243 x23 当且仅当3x4x，又x0，∴x时，ymax243）

又如：x2y1，则2x4y的最小值为

（∵2x22y22x2y221，∴最小值为22）

36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

如：证明1122122132„1n22

（1132„„1n211121n123„„1n1n

11121213„„1n1

21n

2）37.解分式不等式f(x)g(x)aa0的一般步骤是什么？

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x12x230

39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x3|x11

1）2

（解集为x|x

41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题

如：设f(x)x2x13，实数a满足|xa|求证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明：|f(x)f(a)||(x2x13)(a2a13)|

|(xa)(xa1)|(|xa|1)

|xa||xa1||xa1||x||a|1

又|x||a||xa|1，∴|x||a|1

∴f(x)f(a)2|a|22|a|1

（按不等号方向放缩）

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：af(x)恒成立af(x)的最小值

af(x)恒成立af(x)的最大值

af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是

（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和

umin325，∴5a，即a5

或者：x3x2x3x25，∴a5）

43.等差数列的定义与性质

定义：an1and(d为常数)，ana1n1d

等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sna1ann2na1nn12d

性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列；

Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；

（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则ambmS2m1T2m1；

2（5）an为等差数列Snanbn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

2Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值；或者求出an中的正、负分界

项，即：

an0

当a10，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。

an10an0

当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值。

a0n

1如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n

（由anan1an233an13，∴an11

又S3a1a32·33a21，∴a213

∴Sna1ann2a2an1·n211n3218

n27）

44.等比数列的定义与性质

定义：an1anq（q为常数，q0），ana1qn1

等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy

na1(q1)a11qn（要注意!）

(q1)1q

前n项和：Sn

性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等比数列

45.由Sn求an时应注意什么？

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1）

46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

如：an满足

解：n1时，n2时，121212a1122a2„„12nan2n51

a1215，∴a114 122a1a2„„1an2

12n1an12n152

12得：

∴an

2∴an［练习］ n12n

14(n1)n1

(n2)2

53数列an满足SnSn1an1，a14，求an

（注意到an1Sn1Sn代入得：Sn1Sn4

又S14，∴Sn是等比数列，Sn4n

n2时，anSnSn1„„3·4n（2）叠乘法

例如：数列an中，a13，an1an23nn1，求an

解：a2a1·a3a2„„anan13n12·„„n1n，∴ana11n

又a13，∴an

（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

n2时，a2a1f(2)a3a2f(3)

两边相加，得：

„„„„anan1f(n)

ana1f(2)f(3)„„f(n)

∴ana0f(2)f(3)„„f(n)［练习］

n1an1n2，求an

数列an，a11，an3

（an321n1）

（4）等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0

可转化为等比数列，设anxcan1x

ancan1c1x

令(c1)xd，∴xddc1

∴and，c为公比的等比数列 是首项为a1c1c ∴andn1a1·c c1c1dn1d cc1c1d

∴ana1［练习］

数列an满足a19，3an1an4，求an

（an483n11）

（5）倒数法

例如：a11，an12anan2，求an

由已知得：1an112an22an121an

∴1an11an

1111，公差为

为等差数列，a12an

1an1n1·2n11212n1

∴an

47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

n

如：an是公差为d的等差数列，求k11akak1

解：由n1ak·ak11n1akakd111d0 dakak1

∴k1akak1k1111 dakak1

1111111„„da1a2a2a3aann1111da1an1

［练习］

求和：11121123„„1n11123„„n）

（an„„„„，Sn2

（2）错位相减法：

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项

和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

如：Sn12x3x24x3„„nxn11

2

234n1nnx

x·Snx2x3x4x„„n1x2n1nnx

12：1xSn1xx„„x

x1时，Sn1xn1x2nxn1x

x1时，Sn123„„nnn12

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2„„an1an相加

Snanan1„„a2a1

2Sna1ana2an1„„a1an„„ ［练习］

已知f(x)111，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f24231x1x2x2

x1

（由f(x)f2x1x211x2x221x11x21

∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

234

12111312）111

48.你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

nn1r„„等差问题

Snp1rp12r„„p1nrpn2

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p(1r)nx1rn1x1rn2„„x1rx

11rn

x11rn1r1 xr

∴xpr1rn1rn



1p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：Nm1m2„„mn

（mi为各类办法中的方法数）

分步计数原理：Nm1·m2„„mn

（mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An.m

Annn1n2„„nm1mn!nm!mn

规定：0!1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cn.m

CmnAnmmAmnn1„„nm1m!n!m!nm!

规定：C01 n

（4）组合数性质：

nmmm1m01nn

CmCn，CnCnCn1，CnCn„„Cn2 n

50.解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）

A.24 B.15

解析：可分成两类：

C.12

D.10

（1）中间两个分数不相等，4有C55（种）

（2）中间两个分数相等

x1x2x3x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。

∴共有5＋10＝15（种）情况

51.二项式定理

(ab)CnaCnan0n1n1bCna2n2b„Cnarnrr2rnrb„Cnb

rnn

二项展开式的通项公式：Tr1Cnarb(r0，1„„n)

Cn为二项式系数（区别于该项的系数）

性质：

r

（1）对称性：CrnCnr0，1，2，„„，n n

（2）系数和：CnCn„CnCnCnCn„CnCnCn„2135024n101nn

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第n2；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式 1项，二项式系数为Cn2n系数最大即第n12项及第11n12n1n11项，其二项式系数为Cn2Cn2

如：在二项式x1的展开式中，系数最小的项系数为表示）

（∵n＝11

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第122（用数字

6或第7项

r11rr

由C11x(1)，∴取r5即第6项系数为负值为最小：

5C11C11426

又如：12x2004a0a1xa2x„„a2004x22004xR，则

a0a1a0a2a0a3„„a0a2004（用数字作答）

（令x0，得：a01

令x1，得：a0a2„„a20041

∴原式2003a0a0a1„„a20042003112004）

52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B

（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B 的和（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A

AA，AA

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53.对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)A包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数mn

（2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B)

（3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB

（4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生 k次的概率：Pn(k)Cnpkk1pnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

2C42

P12

15C10

（2）从中任取5件恰有2件次品；

23C4C610

P2 521C10

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

213

∴mC2·464 3

∴P3C3·4·6410322344125

（4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

5223

∴nA10，mC4A5A6

∴P4C4A5A6A1052231021

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差xmaxxmin；

（2）决定组距和组数；

（3）决定分点；

（4）列频率分布表；

（5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距×频率组距

样本平均值：x

样本方差：S21n1nx1x2„„xn

xx2x„„xnx222x1

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

（C10C5C15642）

56.你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。



（2）向量的模——有向线段的长度，|a|



（3）单位向量|a0|1，a0a

|a|

（4）零向量0，|0|0

长度相等ab

（5）相等的向量方向相同

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。



b∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图：



OAOBOC 

OAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）



e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对

1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

（9）向量的坐标表示



i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标 表示。

设ax1，y1，bx2，y2

则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2

ax1，y1x1，y1

若Ax1，y1，Bx2，y2 

则ABx2x1，y2y1 

|AB|x2x1y2y1，A、B两点间距离公式 2

257.平面向量的数量积



（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。

为向量a与b的夹角，0，

B b O  a

D A

数量积的几何意义：



a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。

（2）数量积的运算法则



①a·bb·a



②(ab)ca·cb·c

③a·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2



注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c)

（3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2



①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20



②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|



ab（b0，惟一确定）

x1y2x2y10

2

③a|a|xy，|a·b||a|·|b|

22121

④cos［练习］ a·bx1x2y1y2xy·2121|a|·|b|xy2222



（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则

|abc|

答案：22

（2）若向量ax，1，b4，x，当x

答案：2 时a与b共线且方向相同

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|

答案：158.线段的定比分点

o

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在l上且不同于P1、P2，若存在一实数，使P1PPP2，则叫做P分有向线段 P1P2所成的比（0，P在线段P1P2内，0，P在P1P2外），且

x1x2x1x2xx1 ，P为P1P2中点时，yy1y2yy1y212

如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3

则ABC重心G的坐标是x1x2x33，y1y2y3 

3※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面

线⊥线线⊥面面⊥面

线∥线线⊥面面∥面判定性质

线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b 

线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则

a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

O a P 

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b

面⊥a，面⊥a∥

a b 

60.三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0时，b∥或b o

（3）二面角：二面角l的平面角，0o180o

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明：coscos·cos

A θ O B β C D α

（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角；

②求异面直线BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（①arcsin34；②60；③arcsino63）

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线„„）

61.空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：

（1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；

（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；

（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE

它们各包含哪些元素？

S正棱锥侧

V锥1312C·h'（C——底面周长，h'为斜高）

底面积×高

63.球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rRd22

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球4R，V球243R

3（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 积为（）

A.3B.4C.33D.6

答案：A

64.熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktany2y1，x1x2 x2x12

P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k

（2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在）

斜截式：ykxb

截距式：xayb1

一般式：AxByC0（A、B不同时为零）

（3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离dk2k11k1k2Ax0By0CA2B2

（4）l1到l2的到角公式：tan

l1与l2的夹角公式：tank2k11k1k2

65.如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1l1∥l2

A1C2A2C1

k1k2l1∥l2（反之不一定成立）

A1A2B1B20l1⊥lk1·k21l1⊥l2

66.怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

68.分清圆锥曲线的定义

椭圆PF1PF22a，2a2cF1F2

第一定义双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2

抛物线PFPK

第二定义：ePFPKca

0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y b O xa2c F1 F2 a x 2222

xayb1ab0

a2b2c2

xa22

yb221a0，b0

c2a2b2 k e>1 e =1P 0

69.与双曲线xa22

yb221有相同焦点的双曲线系为xa22yb220

70.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式P1P21kx21x24x1x2

2

1212y1y24y1y2 k

71.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

y P(x0,y0)K F1 O F2 x l

xa22yb221

PF2PKe，PF22aex0ex0a

c

PF1ex0a

y A P2 O F x P1 B

y22pxp0

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mx2ny21与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

22mn线的斜率为，则的值为

答案：mn22

73.如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

（由axx'2，byy'2x'2ax，y'2by）

只要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y' AA'⊥l

（2）点A、A'关于直线l对称

AA'中点在l上kAA'·kl

1

AA'中点坐标满足l方程74.圆xy22xrcosr的参数方程为（为参数）

yrsin

2椭圆xa22yb22xacos1的参数方程为（为参数）

ybsin

75.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。