行列式算法归纳总结_行列式计算方法小结

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数学与统计学学院

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行列式的算法归纳

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2012年6月20日

目录

引言..................................................................................................................................................2 1 行列式性质...................................................................................................................................2 2 行列式计算方法...........................................................................................................................5

2.1定义法.................................................................................................................................5 2.2递推法.................................................................................................................................6 2.3化三角法.............................................................................................................................9

2.4拆元法...............................................................................................................................11.4加边法..............................................................................................................................12 2.6数学归结法.......................................................................................................................14 2.7降价法...............................................................................................................................15 2.8利用普拉斯定理...............................................................................................................16 2.9利用范德蒙行列式...........................................................................................................17 结论................................................................................................................................................18 参考文献.........................................................................................................................................18

行列式的概念及应用

摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出了行列式的计算方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理和利用范德蒙行列式的方法。

关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式

The concept and application of determinant

In this article, it first lists some calculated properties of determinants, and then characterizes some methods to calculate determinant, including: definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered，Mathematical induction，reduction，the method using Laplace theorem or the van demon determinant.Keywords: determinant;system of linear equations;Van demon determinant

引言

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。行列式的性质

性质1 行列互换，行列式值不变，即

a11a12a1na21a22a2nan1an2anna11[1]

a21a22a2nan1an2 anna12a1n其实，元素aij在上式的右端位于第j行第i列，即此时i是列指标，j为行指标。

在行列式中，行与列的地位是对称的，所以有关行的性质，对列也成立。

性质2 如果行列式中一行为零，那么行列式为零。

的元都是二项式，那么这个行列式等于把这些性质3 如果行列式的某一行或一列二项式各取一项作成相应行或列而其余行或列不变的两个行列式的和。

即

a11b1jc1ja21b2jc2jan1bnjcnja1na11b1ja2na21b2jannan1bnja1na11c1ja2na21c2jannan1cnja1na2n ann这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。

性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。

性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。

2.行列式的计算方法

2.1 定义法

n阶行列式计算的定义[3]：

a11Dna21an1其中，j1j2jna12a1na22a2nan2ann(1)(j1j2jn)a1j1a2j2anjn

j1j2jn表示对所有n级排列求和。j1j2jn是1,2,,n的一个排列，当j1j2jn是(j1j2jn)偶排列时，(1)是正号；当j1j2jn是奇排列时，(1)(j1j2jn)是负的。a1j1a2j2anjn是D中取自不同行不同列的n个元素的乘积。

a11a21例2.1：证明Da31a12a22a32a42a52a13a23000a14a24000a15a2500.00a41a51分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明： 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为a1j1a2j2anjn 则

Dnj1j2j5(1)(j1j2j5)a1j1a2j2anjn.（3）

其中j1,j1,,j5为1,2,3,4,5的任意排列,在D中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（3）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.故D=0.注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2.3 递推法

应用行列式的性质，把一个较高阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。

注意：用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难 找出递推关系式，从而不能使用此方.[4]

例2.2证如下行列式等式

Dn1001000000

0001n1n1,其中（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求 证明： Dn出其值，从而证之）。

分析：此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素

都为零，这种行列式称“三对角”行列式。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。

证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：

Dn（＋）Dn－1－Dn－2，这是由Dn1 和Dn2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低 阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：

Dn－Dn－1＝Dn－1－Dn－2＝（Dn－1－Dn－2）或 Dn－Dn－1＝Dn－1－Dn－2＝（。Dn－1－Dn－2）现可反复用低阶代替高阶，有：

23Dn－Dn－1＝（Dn－1－Dn－2）＝（Dn－2－Dn－3）＝（Dn－3－Dn－4）＝＝（D2－D1）=同样有 n2n－2[()()](1)2n

23Dn－Dn－1＝（Dn－1－Dn－2）＝（Dn－2－Dn－3）＝（Dn－3－Dn－4）[()()](2)n1n1因此当 时，由（1）（2）式可解得：Dn。

＝＝（D2－D1）=n2n－22n

小结：虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递 推关系式，如本题。

2.3化三角形法

运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖于行列式的性

[7]质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式.行列式的性质告诉了我们该如何求行列式,而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换(列变换),变成阶梯形(上三角)的行列式,再根据定义计算即可.其计算步骤可归纳如下:

(ⅰ)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,则均加到某一列(行)（直观上加到第一列(行)）.(ⅱ)有公因子的提出公因子.(ⅲ)进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式.(ⅳ)由行列式的定义进行计算.由以上四步,计算一般行列式都简洁多了.123n1234[6]例2.3 计算行列式Dn345n1n12.n12n2n1分析 直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素与前面元素相差1,因此先从第n1列乘-1加到第n列,第n2列乘-1加到第n1列, 这样做下去直到第1列乘-1加到第2列,然后再计算就显得容易.123n1234解：Dn345n1n12123111111111n11n1

10001000n12n2n1

n1n112n12n111210011100n10n0nn1n0000000n0

000n0n0

00n0000n1n(n1)000n2n00(n1)(n2)1n(n1)(1)2 n2n(n1)(n1)n1n(1)2.2问题推广

在例2.3中1,2,,n,这n个数我们可以看成有限个等差数列在循环,那么对于一般的等差数列也应该适应.计算行列式 [1]

a1Da1da12da1(n1)da1a1da12da1(n1)da1d2d(n1)da1a1da12da13da1ddda12da1(n1)da13da14da1ddda1nda1a1(n3)dda1nda1a1da1(n2)d

ddd(1n)ddddnd

d(1n)dd d(1n)dddndnd0000000nd0 d(n1)dnnd2d(n1)dndnd00(n1)(n2)d(n1)dn1(a1)(nd)(1)2

nn(n1)(n2)1n(a1a1(n1)d)n1()(nd)(1)2.n2

(n1)(n2)1n(a1a1(n1)dn1)(nd)(1)2结论如果将例2.3中的数a11，d1代入(n2显然成立.2.4．拆元法

由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行 列式值，此法称为拆行（列）法。

由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式[2]的值。

例2.4求下列行列式的值 设n阶行列式：

a11a21an1a12a1na22a2n1

an2ann且满足aijaji,i,j1,2,,n,对任意数b，求n阶行列式

a11ba12ba1nba21ba22ba2nb?

an1ban2bannb 分析:该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b，显然 用拆行（列）法。

解：

a11ba12ba1nba11a12ba1nbba12bDa21ba22ba2nba21a22ba2nbba22bnan1ban2bannban1an2bannbban2ba11a12a1nba11ba1nb1a12a1na21a22a2nb1a22a2na21ba2nbb

an1an2annban1bannb1an2anna11a12a1na111a1n1a12a1na21a22a2nba211a2n1a22a2nb

an1an2annan11ann1an2annnnn1bA2ibA1i1bi1iAij。

i1,j1又令

a11a12a1nA=a21a22a2n,且aijaji,i,j1,2,,n。

an1an2ann

所以 有A1,且A'A。

由A－1＝A＊A得：AA－1A＊即A＊A＝E 所以 A＊＝A－1。7

a1nba2nbannb

又（A＊）(A1)'(A')1(A)1A＊，所以 A*也为反对称矩阵。

*又 Aij(i,j1,2,,n)为A的元素，所以有i1,j1'nAij0。

从而知：Dn1bi1,j1nAij1。

2.5．加边法

计算行列式往往采用降阶的办法，但在一些特殊的行列式的计算上却要采用加边法。行列式的加边法是为了将行列式降阶作准备的。更有利于将行列式化成上三角的形式，其加边的元素，也可根据计算的难易程度来确定。具有随意性。利用行列式按行（列）展开的性质把n阶行列式通过

[3]加行（列）变成与之相等的n1阶行列式,然后计算.添加行列式的四种方法[18]:设Dna11a21an1a12a1na22a2nan2ann.（1）首行首列Dna11a21an1a11a21an1a11a21an1a11a21an1a12a1na22a2nan2anna12a1na22a2nan2anna12a1na22a2nan2anna12a1na22a2nan2ann1a1a2an0a110a210a11a21an1a1a2a31a11a21a3100a12a22an2a11a21a310a12a22a320a12a1na22a2n.an2ann01a13a1a23a2.an3ana12a1na22a2na32a3n.00a13a1a23a2a33a3.010an1（2）首行末列Dn（3）末行首列Dn（4）末行末列Dn例2.5 计算n 阶行列式： [4]

x121Dnx1x2x1x2x1x2x221x1x2x1x2x1x2xn21

分析 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x1与x1,x2,,xn相乘，第二行为x2与x1,x2,,xn相乘，„„，第n行为xn与x1,x2,,xn相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x1,x2,,xn，从而就可考虑此法。解：

1x1x20x121x1x22Dn0x2x1x210xnx1nxn1x1x2x1(i1,,n)x2xnx2ri1xir1x1100x2xn001001xnx22i12xn1x1100xnn1

1xic1xici1(i1,,n)x2xn0100011xi2。i1n000n1注意:加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。

2.6数学归结法

数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法,通常用不完全归纳法寻找行列式

[5]的猜想,再用数学归纳法证明猜想的正确性.基本方法

1)先计算n1,2,3时行列式的值.2)观察D1,D2,D3的值猜想出Dn的值.3)用数学归纳法证明.例2.6 证明： [6]2cos1 Dn12cos100010000000012cossin(n1)sin(sin0)0002cos2cos1证：当n1,2时，有

sin(11)sin

2cos1sin(21)D24cos2112cossinD12cos结论显然成立。

现假定结论对小于等于n1时成立。即有

Dn2将Dn按第1列展开，得

sin(n21),sinDn1

sin(n11)。

sin2cos1Dn0012cos00000012cos2cos10002cos00000012cos2cos1(n1)2cos1(n1)2cosDn1Dn2sin(n11)sin(n21)sinsin2cossinnsin(n1)sin2cossinnsinncoscosnsinsinsinncoscosnsinsinsin(n1)sin2cos

故当对n时，等式也成立。得证。

2.7降阶法

n阶行列式等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即

DaijAij(i1,2,,n)或DaijAij(j1,2,,n).j1i1nn行列式按一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法.这是一种计算[9]行列式的常用方法.1301例2.7 计算D30141121011001.1解 D30911022001109111220110214.21注意 对于一般的n阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重.因此必须先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素,然后再按此行（列）展开,如此进行下去,直到二阶.2.8 利用拉普拉斯定理

在利用行列式的一行(列)展开式时,我们可以发现计算行列式可以按某一行(列)展开,进行计算行列式.试想,我们可以根据行列式的某一个K级字式展开吗? 拉普拉斯经过对行列式的研究.终于发现此种方法可行,并给出了严密的证明,为了使行列式的计算更为简洁,现引入拉普拉斯定理.拉普拉斯定理[12]:设在行列式D中任意取定了k1kn1个行,由这k行元素所组成的一切K级字式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.拉普拉斯定理的四种特殊情形：

1）AnnCmn00BmmAnnCmnAnnBmm

Ann2）

0CnmAnnBmm Bmm3）Bmm(1)mnAnnBmm 4）

CnmBmmAnn0(1)mnAnnBmm

例2.8计算n阶行列式

aaaabDnbb



解

Dn(i2，n1)aaaabi1200(n1)a000000aa0a

0C2Ci0b(n2)(i3,n)00000000利用拉普拉斯定理(n1)ab(n2)2200n20000(n2)(n2)[(n2)ab(n1)]()2.9 利用范德蒙行列式

范德蒙行列式[14]

：

1x1x12x1n11x2x22n1x21x3x32n1x31xn2xn1jinn1xn(xixj)

(an1)n1(an1)n2例2.9[16]

(an2)n1(a1)n1(an2)n2(a1)n2an21a11an1an2 a1：计算n阶行列式 Dnan11解 ： 显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。

先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，„,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，„,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+„+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到

1Dn(1)n(n1)21an21a11a an2an1an1(an1)n2(an1)n1(an2)n2(a1)n2(an2)n1(a1)n1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得

EnABnmEmBA

Dn(1)n(n1)21jin[(ani)(anj)](1)n(n1)21jin(ij)

结论：

综上所述，针对行列式结构特点而采用与之相适应的计算技巧，从而总结出了多种类型题目所适用的计算方法，因此，对于计算行列式的方法，我们首先要熟练掌握并懂得如何选择、运用，不管是哪一种行列式的计算，选取恰当的方法，才能较快地解出其值。

参考文献

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[10] 张子杰.行列式计算中的一些方法.河北工程技术高等专科学院学报.[11] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数（第二版）.北京：高等教育出版社，1994 [12] 王品超著，高等代数新方法.济南：山东教育出版社，1989 [13] 李师正,高等代数复习解题方法与技巧.高等教育出版社,2005

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