极限解法以及收敛性的判断小结_判断收敛性

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极限解法以及收敛性的判断小结

摘要:极限作为分析学的基础，再数学中具有重要的地位。本文简述了一些极限的解法，和其敛散性判断的方法以及其中包含的一些概念。

关键词：分析；极限；敛散性；解法

A summarize of the solutions of the limit and the judgments

of convergent

HAO Sanqiang

(China University of GeosciencesCollege of EngineeringExperimental Cla of Geo engineeringWu Han 430074)

Abstract: As the basement of the analysis, limit is very important in mathematics.This paper lists some solutions of the limit and some concepts of limit included.Some judgments of convergent is also included.Keyword: Analysis;Limit;Convergent;Solutions

1极限的解法

1.1定义：对与简单的函数，先假设极限值再通过利用定义的证明得出极限值。

1.1.1数列极限：limxna0,N0:nN有xnan1nlimsin 例：求nn4111nn 解：通过观察可假设其值为零，要使令 0,sinnn4 1n1n1limsin0。N，则当n>N时，就有sin即nn4n4n

1.1.2.函数极限：limf(x)a0,X0:xX有 f(x)axlimf(x)a0,X0:xXf(x)ax有 limf(x)a0,X0:xX有f(x)axlimf(x)A0,0:x:0xaf(x)axa有

limf(x)A0,0:x:0xa有 f(x)axa

limf(x)A0,0:x:xa0有 f(x)a

xa

例：设a是正常数，求limxa

x1aa0要使解：通过观察可假设其值为零，x即xxa∴取

1aa，则当时这说明limx0xXx0xXa

1.1.3特殊的极限：无穷大与无穷小（极限值为零）有f(x)limf(x)00,X0:xX

x

有 f(x)

limf(x)00,X0:xXx

limf(x)00,X0:xX有 f(x)x

limf(x)00,0:x:0xaf(x)xa有

limf(x)00,0:x:0xa有f(x)xa

limf(x)00,0:x:xa0有 f(x)

xa

1.2.两边夹定理：对数列（或函数）进行放缩（使两边极限值相等），分别对放缩的两边求极限，最后得值。定义1）：设limynlimzna，且当n充分大时xn收敛，ynxnzn，则数列

nn

且.limxna

n

定义2）：若在点a的某个去心邻域内limgxlimhxAgxfxhx，且

xaxa，则 limfxA

xa

lim4n5n55nlim4n5n5n5n52由两边夹定理 例：求解：nn

4n5n5可知 limn

1.3区间套准则：对于满足闭区间套条件的两数列，可用区间套定理得到极限值。定义1）：称满足下列两个条件的闭区间列an,bn为闭区间套，简称区间套：（1）a1,b1a2,b2an,bn（称an,bn是渐缩的）

（2）limbnan0

n

定义2）：设an,bn为实数轴上的闭区间套，则存在唯一的实数ξ，对任意正整数n，都有limanlimbnan,bn且.nn

1.4复合函数的极限运算法则：将函数中复杂部分替代为简单的部分，使函数形式简化得值。定义：设limxa，但在点τ的某去心邻域内limfxA，则复 ta，又

txa

t时极限也存在，且 limftlimfxA合函数ft当

txa

t1

1lime0x0t∴原式变为 t2当例：求解：设tlimex

xx0

1.5两个重要极限：利用重要极限进行函数形式的变化，计算极限值。x

sinx1 lim1lim1ex0xxx











例1）：

xn

x nnn1enlim1lim例2）： x

xxx



1.6等价无穷小：利用等价无穷小进行函数形式的变化，计算极限值。常用等价无穷小总结： x0

x1x2

sinx～xtanx～x1-cosx～～ log1xx1a

nlna2

ax1～xlna(1x)a1～axx113lim3lim例：（～x/2x3x～3x）x1x0x3xx03x6

1.7 洛必达法则：解决符合不定式形式的极限问题。定义1）：（关于0/0型）若函数f（x）、g（x）在点x0的某个空心邻域o0(x0)内 有定

limfx0,limgx0;xx0xx0义，且满足（1）（2）f（x）、g（x）在某个空心邻域o0(x0)

fx

limAx0gx内有导数，而且（其中A为有限值或为∞），则有gx0;（3）x

fxfx

limlimAxxxx 0gx0gx定义2）：（关于∞/∞型）与定义1）相似，故省略。

exexexexexex

例：求极限解：limlimlim3limlimlim

xxx4xx4x4xx12x2x24xx2

41.8泰勒公式：利用泰勒公式将函数合并同类项，求解极限。

fx0fnx02

泰勒公式：xx0xx0noxx0nf xfx0fx0xx0

2!n!nf02

马克劳林公式xf0xnoxnfxf0f0x

2!n!sinxxcosx

lim

例：求极限 x0ln1xx2sinx

xxox3sinxxx3ox3xcosxxx3ox3ln1xx 解：；； 3

xox3

sinxxcosx2limlim2x0x0x33xln1xsinxox3 1.9定积分求极限：利用定积分求解部分特殊极限。（运用定义与牛顿-莱布尼兹公式）

nbb

fxdxlimfixiFxaa0 p

12Pnpi1

例： 求 limp0p1nn

x

sinxnnsinx3lim3limxnxx0n3

3n











ppPp1p2p12n1n limlimp1nnnnnn n p1

11x1

xpdx0p10p1

2．极限敛散性的判断

2.1定义：通过定义的直接证明极限的敛散性。（数列、函数极限）

例：证明由limfx发散 fxx构成的极限

xn

证：求f（x）在点左右的极限值分别为n-1与n故可知f(x)在n处无极限。故limfx发散。

xn

2.2单调有界定理：通过证明数列既单调又有界可以证明数列极限收敛。（数列极限）2.3柯西收敛准则：通过证明满足准则可以证明极限收敛。（数列、函数极限）2.4海涅定理：证明函数不满足海涅定理来证明其发散（函数极限）

参考文献：

〔1〕赵晶、李宏伟.《工科数学分析》.中国地质大学出版社2010.9