数学分析中极限的求法总结_数学分析中的极限求法

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数学分析中极限的求法总结

1.1 利用极限的定义求极限

用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。

例：limfxA的ε-δ 定义是指：ε＞0，δ=δ(x0，ε)＞0，0＜|x-x0|xx0

＜δ|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对x0的邻域半径适当限制，如然后适当放

大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：

｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ

1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1

从φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-x0 |＜δ 时，就有|f(x)-A|＜ε.xx...xna.例：设limxna则有lim1

2nnn

xn-a于是当证明：因为limxna,对0，N1N1(),当nN1时，n2

xx...xnxx...xnna12a12 nN1nn

0

其中Ax1ax2axN1是一个定数,再由

解得n2AA，n2xx...xn2A ,故取NmaxN1,当nN12+=。n22

1.2 利用极限的四则运算性质求极限

定理[1]：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)当xx0xx0

xx0时也存在且

①limf(x)g(x)limf(x)limg(x)xx0xx0xx0

②limf(x)g(x)limf(x)limg(x)xx0xx0xx0

limf(x)f(x)f(x)xx

又若c0，则在xx0时也存在，且有lim.0

xx0g(x)g(x)limg(x)

xx0

利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，0

一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现， 等情况，都

0

不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。

31（）例：求lim x11x31x

解：由于当x1时，与的极限都不存在，故不能利用“极限的和等3

1x1x

于和的极限”这一法则，先可进行化简

313(1xx2)(1x)(2x)(2x)

这样得到的新函数当=

1x31x1-x3(1x)(1xx2)(1xx2)

x1时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即

31(2x)lim（）=lim=1 x11x31xx1(1xx2)

1.3 利用函数的连续性求极限

定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义区间内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0

一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x)是初等函数，x0是其定义域内一点，则求极限limf(x)时，可把x0代入f(x)中计算出函数值，即

xx0

xx0

limf(x)=f(x0)。

对于连续函数的复合函数有这样的定理：若u(x)在x0连续且u0(x0)，yf(u)在u0处连续，则复合函数yf[(x)]在x0处也连续，从而

xxo

limfxfxo或limfxflimx。

xxo

xxo

lnsinx 例：lim

x

解：复合函数x=



在处是连续的，即有limlnsinx=lnsinln10

22x

1.4 利用无穷小的性质求极限

我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。

4x-7

例：求lim2

x1x3x2

解：当时x1，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒

4x-7x23x2

=。=0，故lim2数的极限lim

x1x1x3x24x-7

1.5 利用单调有界原理求极限

这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。

例：求

n解：令xn

xn1

n，即xn1xn，所

以数列x

n单调递增，由单调有界定理知，A，limxn1，即

A

n

n，所以

n1。2

1.6 利用夹逼准则求极限[3]

已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)；（2）limyna，limzna。

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxna。利用夹逼准则求极

n

n

n

n

限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得ynxnzn。

例：xn

...xn的极限

解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项

xn

...

xn

...



xnn

又因为n，则limxn1。

x