《函数的基本性质》知识总结_基本函数知识点总结

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《函数的基本性质》知识总结

1.单调性

函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义

一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA．如果对于区间I

上是单调增函数，I称为内的______两个值x1，x2，当x1

x1，x2，当x1

单调性的等价定义：

M,当x1x2时，有f(x1)f(x2)0

f(x1)f(x2)y(x1x2)[f(x1)f(x2)]000； x1x2x

②f(x)在区间M上是减函数x1,x2M,当x1x2时，有f(x1)f(x2)0

f(x1)f(x2)y00； (x1x2)[f(x1)f(x2)]0x1x2x①f(x)在区间M上是增函数x1,x2

⑵函数单调性的判定方法

①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：

①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设x1，x2[a，b]且x1x2，那么

f(x1)f(x2)0f(x)在区间[a,b]上是增函数；x1x2

f(x1)f(x2)0f(x)在区间[a,b]上是减函数。(x1x2)[f(x1)f(x2)]0x1x2(x1x2)[f(x1)f(x2)]0

②导数法（选修）：在反之，f(x)区间(a，b)内处处可导，若总有f'(x)0（f'(x)0），则f(x)在区间(a，b)内为增（减）函数；f(x)在区间(a，b)内为增（减）函数，且处处可导，则f'(x)0（f'(x)0）。请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。

判定函数的单调性一般要将式子

单调性主要用定义法和导数法。

提醒求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定能用符号“”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。

⑶与函数单调性有关的一些结论 f(x1)f(x2)进行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的f(x)与g(x)同增（减），则f(x)＋g(x)为增（减）函数，f(g(x))为增函数；

②若f(x)增，g(x)为减，则f(x)－g(x)为增函数，g(x)－f(x)为减函数，f(g(x))为减函数；

1③若函数yf(x)在某一范围内恒为正值或恒为负值，则yf(x)与y在相同的单调区间上的单调性相反； f(x)

④函数yf(x)与函数yf(x)k(k0)具有相同的单调性和单调区间；

⑤函数yf(x)与函数ykf(x)(k0)具有相同的单调性和单调区间，函数yf(x)与函数ykf(x)(k0)具有相同单调区①若间上的单调性相反。

2.奇偶性

函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于

⑴函数奇偶性的定义

一般地，设函数y轴成轴对称，是研究函数图象的结构特点； yf(x)的定义域为A．如果对于_____的xA，都有f(x)_____，那么函数yf(x)是偶函数.一般地，设函数yf(x)的定义域为A．如果对于_____的xA，都有f(x)_____，那么函数yf(x)是奇函数.如果函数yf(x)是奇函数或偶函数，那么函数yf(x)具有________.注意具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，因此，确定函数奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

⑵图象特征

yf(x)为奇（偶）函数函数yf(x)的图象关于原点（y轴）成中心（轴）对称图形。

注意 定义域含0的偶函数图象不一定过原点；定义域含0的奇函数图象一定过原点；利用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到函数一半区间上，简化问题。

点评

①函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.．．．．

②f(x)是奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)1.f(x)