导数各类题型方法总结(学生版)_导数各类题型方法总结

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导数各种题型方法总结

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f'(x)0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,

例1：设函数yf(x)在区间D上的导数为f(x)，f(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)0恒成立，则称函数yf(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，x4mx33x

2f(x) 1262

（1）若yf(x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m2的任何一个实数m，函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”，求ba的最大值.2010第三次周考：

例2：设函数f(x)13x2ax23a2xb(0a1,bR)

3（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的x[a1,a2],不等式f(x)a恒成立，求a的取值范围.（二次函数区间最值的例子）

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3，t62x(t1)x3(t0)

2（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）当x[1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x[1,4]时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围。g(x)x3

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f'(x)0或f'(x)0在给定区间上恒成立，回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知aR，函数f(x)13a12xx(4a1)x． 12

2（Ⅰ）如果函数g(x)f(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数f(x)是(,例

5、已知函数f(x))上的单调函数，求a的取值范围． 131x(2a)x2(1a)x(a0).32（I）求f(x)的单调区间；

（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例

6、已知函数f(x)13(k1)21xx，g(x)kx，且f(x)在区间(2,)上为增函数． 32

3（1）求实数k的取值范围；

（2）若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

例

7、已知函数f(x)ax312x2xc

2（1）若x1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；

12bxxd，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的2

图像恒有含x1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。

（2）若g(x)

题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

例

7、已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f'(x)0的x的取值范围为(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(1,m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法

例

8、其它例题：

（a0）

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数f(x)ax32ax2b在区间2,1上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

2、（根分布与线性规划例子）

（1）已知函数f(x)x3ax2bxc

(Ⅰ)若函数f(x)在x1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3xy0平行, 求23f(x)的解析式；

(Ⅱ)当f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值时, 设点M(b2,a1)所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.3、（根的个数问题）已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd(a0)的图象如图所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3xy110，求函数f(x)的解析式；

（Ⅲ）若x05,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。

4、（根的个数问题）已知函数f(x)13xax2x1(aR)

3（1）若函数f(x)在xx1,xx2处取得极值，且x1x22，求a的值及f(x)的单调区间；

（2）若a

1125，讨论曲线f(x)与g(x)x(2a1)x(2x1)的交点个数． 226

x325、（简单切线问题）已知函数f(x)2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数5a

3bxg(x)f(x)23． a

（Ⅰ）若函数g(x)在x1处有极值，求g(x)的解析式；

（Ⅱ）若函数g(x)在区间[1,1]上为增函数，且b2mb4g(x)在区间[1,1]上都成立，求实数m的取值范围．